Qual a forma bilinear simétrica associada a forma quadrática q((x, y, z))=-x^2+3 x y-4 y z+y^2 ?

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
q((x,y,z))=-x^2+3xy-4yz+y^2
e pede a forma bilinear simétrica B associada a q. Em geral, se q(v)=v^TAv para uma matriz simétrica A, então
B(u,v)=u^TAv
é a forma bilinear simétrica procurada.

Passo 2

Para encontrar a matriz simétrica A=(aij) tal que q(x,y,z)=[x;y;z]A[x;y;z]^T, igualamos coeficientes:
O coeficiente de x^2 é -1, logo
a11=-1
O coeficiente de y^2 é 1, logo
a22=1
O coeficiente de z^2 é 0, logo
a33=0
Para os termos mistos usamos 2a12=3, 2a23=-4, 2a13=0. Assim,
a12=a21=tfrac32, a23=a32=-2, a13=a31=0
Logo
A = -1 & tfrac32 & 0 tfrac32 & 1 & -2 0 & -2 & 0

Passo 3

A forma bilinear simétrica associada é
Fazendo o produto, obtemos

Resposta

Bl((x,y,z),(x',y',z')r) =-x,x' + tfrac32,(x,y' + y,x') + y,y' -2,(y,z' + z,y')

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