A aplicação T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x y, x) é uma transformação linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
,TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (,x,y,;x,)
Para ser linear, T deve satisfazer simultaneamente
  1. Aditividade:
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2),
  1. Homogeneidade:
Tl(alpha,(x,y)r)=alpha,T(x,y)

Passo 2

Vamos checar a aditividade de forma geral. Seja (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l((x1+x2)(y1+y2),;x1+x2r)
enquanto
T(x1,y1)+T(x2,y2) = (,x1y1,;x1)+(x2y2,;x2) = (,x1y1+x2y2,;x1+x2)
Para serem iguais, precisaríamos de
(x1+x2)(y1+y2)=x1y1+x2y2 Longrightarrow x1y2+x2y1=0
para todos xi,yi, o que não vale em geral.

Passo 3

Bastará um contraexemplo numérico. Tome (x1,y1)=(1,0) e (x2,y2)=(0,1). Então
T((1,0)+(0,1))=T(1,1)=(1cdot1,,1)=(1,1),
porém
T(1,0)+T(0,1)=(0,1)+(0,0)=(0,1)neq(1,1)

Passo 4

Como falha a propriedade de aditividade, T não é transformação linear (não há necessidade de verificar homogeneidade).

Resposta

Não. A aplicação não é linear, pois não satisfaz
,T(u+v)=T(u)+T(v), em geral.

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