Considere a matriz B=[ccc0 & 1 & 0 -4 & 4 & 0 -2 & 1 & 2].
Calcule os autoespaços e autovetores associados aos autovalores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 0 & 1 & 0 -4 & 4 & 0 -2 & 1 & 2
e pede os autovalores, os autovetores e os autoespaços correspondentes. Para isso vamos (i) calcular o polinômio característico, (ii) achar as raízes (autovalores) e (iii) resolver (B-lambda I)x=0 para cada lambda.

Passo 2

O polinômio característico é
p(lambda)=det(B-lambda I) =det -lambda & 1 & 0 -4 & 4-lambda & 0 -2 & 1 & 2-lambda
Expansão pela primeira linha dá
p(lambda) =(-lambda)l((4-lambda)(2-lambda)-0cdot1r) -1l((-4)(2-lambda)-0cdot(-2)r)

Passo 3

Calculando
(4-lambda)(2-lambda)=8-6lambda+lambda^2,
segue
p(lambda) =-lambda(lambda^2-6lambda+8)+4(2-lambda) =-lambda^3+6lambda^2-12lambda+8 =-(lambda^3-6lambda^2+12lambda-8)
Reconhecemos lambda^3-6lambda^2+12lambda-8=(lambda-2)^3. Logo o único autovalor é
lambda=2
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para lambda=2 montamos
B-2I= -2 & 1 & 0 -4 & 2 & 0 -2 & 1 & 0 ,
e resolvemos (B-2I)(x,y,z)^T=0. Observa-se que as três linhas reduzem à mesma equação
-2x+y=0Longrightarrow y=2x,
enquanto z permanece livre.

Passo 5

Logo o autoespaço correspondente a lambda=2 é
E2=(x,y,z)mid y=2x,;zin R =(x,2x,z)mid x,zin R =span(1,2,0),,(0,0,1)
Os autovetores são todos os vetores não nulos desse espaço.

Resposta

O único autovalor é lambda=2.
O autoespaço associado é
E2=(x,2x,z)mid x,zin R =span(1,2,0),,(0,0,1),
cuja base de autovetores pode ser escolhida como (1,2,0) e (0,0,1).

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