Considere a matriz B=[ccc0 & 1 & 0 -4 & 4 & 0 -2 & 1 & 2].
Quais são as multiplicidades aritmética e geométrica dos autovalores encontrados? Use essa informação para concluir que a matriz A é ou não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = 0 & 1 & 0 -4 & 4 & 0 -2 & 1 & 2
e pede para encontrar as multiplicidades aritmética (isto é, algébrica) e geométrica dos seus autovalores, e então decidir se B é diagonalizável. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores, polinômio característico e dimensões de espaços próprios.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, calculamos
det(B - lambda I) = det -lambda & 1 & 0 -4 & 4-lambda & 0 -2 & 1 & 2-lambda
Como a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras linhas, expandimos por essa coluna e obtemos
det(B - lambda I) = (2-lambda),det -lambda & 1 -4 & 4-lambda
Então
det -lambda & 1 -4 & 4-lambda = (-lambda)(4-lambda) - (-4)cdot1 = lambda^2 - 4lambda +4 = (lambda-2)^2

Passo 3

Logo o polinômio característico é
det(B - lambda I) = (2-lambda),(lambda-2)^2 = -( lambda-2)^3
Deste modo há um único autovalor lambda=2 com multiplicidade algébrica ma=3.

Passo 4

Para a multiplicidade geométrica, resolvemos
As equações dão , e as demais são repetidas. Assim e fica livre. O espaço próprio tem base, por exemplo,
,
logo a dimensão desse espaço próprio é .

Passo 5

Como para lambda=2 temos multiplicidade algébrica ma=3 e geométrica mg=2<3, não se cumprindo mg=ma, a matriz B não é diagonalizável.

Resposta

Apenas o autovalor lambda=2 aparece, com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2. Portanto, B não é diagonalizável.

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