Aplicação (Temperatura). Considere uma barra de ferro retorcida dada por
r(t)=(cos (t), sin (t), t)=cos (t) i+sin (t) j+t k, para 0 <= t <= 2 pi
Suponha que tal barra foi imersa em um fluído que possui distribuição de temperatura dada pela função de três variáveis
f(x, y, z)=y sin (z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de ferro que está torcida, representada por uma função vetorial para . Além disso, essa barra foi mergulhada em um fluido com uma distribuição de temperatura dada por .
Aqui, vamos trabalhar com cálculo vetorial e funções de várias variáveis para entender como a temperatura se comporta ao longo da barra.
Para resolver, vamos precisar substituir a função vetorial na função de temperatura e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma parametrização da barra de ferro no espaço tridimensional, onde:
Isso significa que, para cada valor de entre e , temos um ponto na barra.

Passo 3

Agora, a função de temperatura nos dá a temperatura no ponto do fluido onde a barra está imersa.
Para encontrar a temperatura ao longo da barra, precisamos substituir as coordenadas da barra na função de temperatura.

Passo 4

Vamos substituir f(r(t)) = f(cos(t), sin(t), t) = sin(t) cdot sin(t) = sin^2(t) , e na função :
Então, a temperatura ao longo da barra em função de é .

Passo 5

Se quisermos, por exemplo, encontrar a temperatura média ao longo de toda a barra, podemos integrar integral0^2pi sin^2(t) , dt de integral0^2pi sin^2(t) , dt = integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = 12 [ t - sin(2t)2 ]0^2pi = 12 (2pi - 0) = pi a e depois dividir pelo comprimento do intervalo.
A integral da temperatura seria:
Sabemos que , então:
Então, a temperatura média é .

Resposta

A temperatura ao longo da barra é dada por e sua temperatura média ao longo da barra é .

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