Aplicação (Temperatura). Considere uma barra de ferro retorcida dada por
Suponha que tal barra foi imersa em um fluído que possui distribuição de temperatura dada pela função de três variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de ferro que está torcida, representada por uma função vetorial
para
. Além disso, essa barra foi mergulhada em um fluido com uma distribuição de temperatura dada por
.
Aqui, vamos trabalhar com cálculo vetorial e funções de várias variáveis para entender como a temperatura se comporta ao longo da barra.
Para resolver, vamos precisar substituir a função vetorial
na função de temperatura
e simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma parametrização da barra de ferro no espaço tridimensional, onde:
Isso significa que, para cada valor de
entre
e
, temos um ponto na barra.
Passo 3
Agora, a função de temperatura
nos dá a temperatura no ponto
do fluido onde a barra está imersa.
Para encontrar a temperatura ao longo da barra, precisamos substituir as coordenadas
da barra na função de temperatura.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na função
:
Então, a temperatura ao longo da barra em função de
é
.
Passo 5
Se quisermos, por exemplo, encontrar a temperatura média ao longo de toda a barra, podemos integrar
de
a
e depois dividir pelo comprimento do intervalo.
A integral da temperatura seria:
Sabemos que
, então:
Então, a temperatura média é
.
Resposta
A temperatura ao longo da barra é dada por
e sua temperatura média ao longo da barra é
.