Calcule a integral dupla:
integral0^2 integral0^1(2 x+8)^8 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral0^1(2x+8)^8,dx,dy
O conteúdo aqui é integração dupla e vamos usar separação de variáveis e técnica de substituição para integrais.

Passo 2

Como a função (2x+8)^8 não depende de y, a gente pode separar a integral em duas partes:
[
\int_{0}{2}\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx,dy
= \Bigl(\int_{0}{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx\Bigr)
= 2\int_{0}{1}(2x+8){8},dx.

Passo 3

Para calcular integral0^1(2x+8)^8,dx, fazemos a substituição
u = 2x + 8, du = 2,dx, dx = du2,
e os limites viram
quando x=0, u=8; quando x=1, u=10
Assim,
integral0^1(2x+8)^8,dx = integral8^10u^8du2 = 12integral8^10u^8,du

Passo 4

Integrando em u e avaliando nos limites:
12integral8^10u^8,du = 12cdotu^99l]8^10 = 118l(10^9-8^9r)

Passo 5

Por fim, multiplicando por 2 (vinda de integral0^2dy=2) e simplificando chegamos ao resultado da integral dupla.

Resposta

10^9-8^99

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