Calcule a integral dupla:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo aqui é integração dupla e vamos usar separação de variáveis e técnica de substituição para integrais.
Passo 2
Como a função
não depende de
, a gente pode separar a integral em duas partes:
[
\int_{0}{2}\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx,dy
= \Bigl(\int_{0}{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx\Bigr)
= 2\int_{0}{1}(2x+8){8},dx.
\int_{0}{2}\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx,dy
= \Bigl(\int_{0}{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}{1}(2x+8)^{8},dx\Bigr)
= 2\int_{0}{1}(2x+8){8},dx.
Passo 3
Para calcular
, fazemos a substituição
e os limites viram
Assim,
Passo 4
Integrando em
e avaliando nos limites:
Passo 5
Por fim, multiplicando por
(vinda de
) e simplificando chegamos ao resultado da integral dupla.