Nos Exercícios de 14 a 26, escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
sumn=1^+infty tg^n pi6

Passo 1

Neste exercício temos a série sumn=1^infty tan^n(pi/6). O conteúdo é série geométrica e vamos precisar do valor de tan(pi/6) para escrever os termos e investigar convergência.

Passo 2

Calculamos tan(pi/6)=1raiz3. Os quatro primeiros termos são:
1raiz3, 13, 13raiz3, 19

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de primeiro termo a=tfrac1raiz3 e razão r=tfrac1raiz3. Como |r|=tfrac1raiz3<1, a série é convergente.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S=a1-r
Substituindo a=tfrac1raiz3 e r=tfrac1raiz3 obtemos:
S=tfrac1raiz31-tfrac1raiz3=1raiz3-1=raiz3+12

Resposta

Os quatro primeiros termos são tfrac1raiz3,tfrac13,tfrac13raiz3,tfrac19; a série é convergente e sua soma é tfracraiz3+12.

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