Nos Exercícios de 14 a 26, escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
sumn=1^+infty senh nn

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série infinita sumn=1^inftysenh(n)n, identificar se ela converge ou diverge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo é séries infinitas e o teste de divergência (termo geral).

Passo 2

Primeiro, lembramos que senh(n) (seno hiperbólico) é definido por
senh(n)=e^n - e^-n2
O termo geral da série é an=senh(n)n. Logo, os quatro primeiros termos são
senh(1)1, senh(2)2, senh(3)3, senh(4)4

Passo 3

Para verificar convergência, usamos o teste de divergência: se limntoinftyanneq 0, a série diverge. Calculamos
limntoinftysenh(n)n =limntoinftye^n - e^-n2n
Como e^n cresce muito mais rápido que n, temos e^n2nto +infty. Portanto o limite do termo geral não é zero.

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, a série não converge. Não faz sentido buscar soma quando diverge.

Resposta

Os quatro primeiros termos são tfracsenh(1)1,,tfracsenh(2)2,,tfracsenh(3)3,,tfracsenh(4)4. Como limntoinftytfracsenh(n)nneq0, a série é divergente.

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