Das aplicações abaixo verifique quais são transformações lineares :
P: P 2(R) P 2(R) ; P(f(x))=f^prime prime(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma aplicação P que pega um polinômio de grau até 2, ou seja, da forma f(x) = ax^2 + bx + c , e transforma ele no seu segunda derivada, f''(x) . Nosso objetivo aqui é verificar se essa aplicação P é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e as propriedades que elas devem respeitar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma aplicação T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Adição (ou aditividade): T(u + v) = T(u) + T(v) para todos os vetores u e v .
  2. Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): T(cu) = cT(u) para todo escalar c e vetor u .
Se P satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: Adição.
Pegue dois polinômios quaisquer f(x) = ax^2 + bx + c e g(x) = dx^2 + ex + f . A soma deles é f(x) + g(x) = (a + d)x^2 + (b + e)x + (c + f) .
Agora, aplicando P na soma:
P(f + g) = (f + g)''(x) = d^2dx^2[(a + d)x^2 + (b + e)x + (c + f)] = 2(a + d)
Por outro lado, P(f) + P(g) é:
P(f) + P(g) = f''(x) + g''(x) = 2a + 2d = 2(a + d)
Como P(f + g) = P(f) + P(g) , a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Homogeneidade.
Pegue um polinômio qualquer f(x) = ax^2 + bx + c e um escalar k .
A multiplicação do polinômio por k é kf(x) = kax^2 + kbx + kc .
Aplicando P nesse polinômio escalado:
P(kf) = (kf)''(x) = d^2dx^2[kax^2 + kbx + kc] = 2ka
Por outro lado, kP(f) é:
kP(f) = k cdot f''(x) = k cdot 2a = 2ka
Como P(kf) = kP(f) , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação P satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que P é uma transformação linear.

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