Das aplicações abaixo verifique quais são transformações lineares :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma aplicação
que pega um polinômio de grau até 2, ou seja, da forma
, e transforma ele no seu segunda derivada,
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa aplicação
é uma transformação linear. Para isso, precisamos entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e as propriedades que elas devem respeitar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma aplicação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Adição (ou aditividade):
para todos os vetores e . - Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
para todo escalar e vetor .
Se
satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: Adição.
Pegue dois polinômios quaisquer
e
. A soma deles é
.
Agora, aplicando
na soma:
Por outro lado,
é:
Como
, a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: Homogeneidade.
Pegue um polinômio qualquer
e um escalar
.
A multiplicação do polinômio por
é
.
Aplicando
nesse polinômio escalado:
Por outro lado,
é:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.