Das aplicações abaixo verifique quais são transformações lineares :
T: R 2 R 2 ; T(x, y)=(2 x-y, x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x - y,;x)
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, para quaisquer u,vinR^2 e qualquer escalar c, valem
T(u + v) = T(u) + T(v) e T(c,u) = c,T(u)

Passo 2

Teste da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u + v = (x1+x2,;y1+y2),
logo
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2) - (y1+y2),;x1+x2r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (2x1 - y1,;x1) + (2x2 - y2,;x2) = l(2x1 - y1 + 2x2 - y2,;x1 + x2r)
Como
2(x1+x2) - (y1+y2) = 2x1 - y1 + 2x2 - y2 e x1 + x2 = x1 + x2,
temos
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Teste da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y). Então
c,u = (c,x,;c,y),
logo
T(c,u) = T(c,x,;c,y) = l(2(c,x) - (c,y),;c,xr) = l(c(2x - y),;c,xr) = c,(2x - y,;x) = c,T(u)

Resposta

A aplicação T(x,y)=(2x - y,;x) satisfaz ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

Exercícios relacionados