Das aplicações abaixo verifique quais são transformações lineares :
T: R 2 R 3 ; T(x, y)=(x y, y, x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (xcdot y,;y,;x)
é linear. O conteúdo que vamos usar são as duas propriedades de uma transformação linear T:
  1. Aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v).
  2. Homogeneidade: T(alpha,u) = alpha,T(u).

Passo 2

Testando a aditividade, considere u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2. Então
T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2r) = l((x1+x2)(y1+y2),;y1+y2,;x1+x2r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x1y1,;y1,;x1) + (x2y2,;y2,;x2) = l(x1y1 + x2y2,;y1+y2,;x1+x2r)
Note que o primeiro componente difere, pois
(x1+x2)(y1+y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 neq x1y1 + x2y2
em geral. Logo, a aditividade falha.

Passo 3

Para ser completa, testaríamos também a homogeneidade: para alphainR e u=(x,y),
T(alpha,u) = T(alpha x,;alpha y) = l((alpha x)(alpha y),;alpha y,;alpha xr) = l(alpha^2,xy,;alpha y,;alpha xr),
enquanto
alpha,T(u) = alpha,(xy,;y,;x) = (alpha,xy,;alpha y,;alpha x)
Aqui o primeiro componente exige alpha^2,xy = alpha,xy para todo alpha,x,y, o que só é verdade se alpha=0 ou xy=0. Logo, a homogeneidade também não vale em geral.

Passo 4

Como não se satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade, concluímos que T não é transformação linear.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(xcdot y,;y,;x) não é linear.

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