Seja a reta com equação paramétrica dada por . Encontre o ponto da reta que está a menor distância da origem e determine essa distância mínima.
9. Dadas duas retas concorrentes e com vetores diretores e , determine a equação do plano que contém ambas as retas. (Justifique com base no produto misto)
Passo 1
Queremos o ponto da reta
que fique mais próximo da origem. Seja um ponto em e o vetor diretor. Um ponto genérico em é
Para que a distância de à origem seja mínima, o vetor deve ser ortogonal a vec v, ou seja
OM(t)cdotvec v=0
Passo 2
Escrevendo OA=(2,3,1), temos
OM(t)=OA+tvec v,
logo a condição ortogonal dá
(OA+tvec v)cdotvec v=0 Longrightarrow OAcdotvec v + t,vec vcdotvec v=0
Calculamos
OAcdotvec v =2cdot1 + 3cdot(-1) + 1cdot2 = 1, vec vcdotvec v = 1^2+(-1)^2+2^2=6
supondo que elas se cruzem na origem. Um plano que contenha ambas deve conter vec v1 e vec v2, e passa pela origem. Para que um vetor genérico vec x esteja nesse plano basta que vec x seja combinação linear de vec v1 e vec v2, o que equivale ao produto misto