Seja a reta r com equação paramétrica dada por x=2+t, y=3-t, z=1+ 2 t. Encontre o ponto da reta r que está a menor distância da origem e determine essa distância mínima.
9. Dadas duas retas concorrentes r1 e r2 com vetores diretores v1(1,2,-1) e v2(2,-1,3), determine a equação do plano que contém ambas as retas. (Justifique com base no produto misto)

Passo 1

Queremos o ponto da reta
r:;(x,y,z)=(2+t,;3-t,;1+2t)
que fique mais próximo da origem. Seja A=(2,3,1) um ponto em r e vec v=(1,-1,2) o vetor diretor. Um ponto genérico em r é
M(t)=A+tvec v
Para que a distância de M(t) à origem seja mínima, o vetor OM(t) deve ser ortogonal a vec v, ou seja
OM(t)cdotvec v=0

Passo 2

Escrevendo OA=(2,3,1), temos
OM(t)=OA+tvec v,
logo a condição ortogonal dá
(OA+tvec v)cdotvec v=0 Longrightarrow OAcdotvec v + t,vec vcdotvec v=0
Calculamos
OAcdotvec v =2cdot1 + 3cdot(-1) + 1cdot2 = 1, vec vcdotvec v = 1^2+(-1)^2+2^2=6
Logo
t = -16
O ponto Ml(-tfrac16r) tem coordenadas
l(2-tfrac16,;3+tfrac16,;1+2l(-tfrac16r)r) =l(tfrac116,;tfrac196,;tfrac23r)
A distância mínima é
l|OMr| =raizl(tfrac116r)^2+l(tfrac196r)^2+l(tfrac23r)^2 =raiz49836 =raiz4986 =raiz836

Passo 3

Agora achamos o plano que contém as retas concorrentes
r1:direção vec v1=(1,2,-1), r2:direção vec v2=(2,-1,3), çãçã
supondo que elas se cruzem na origem. Um plano que contenha ambas deve conter vec v1 e vec v2, e passa pela origem. Para que um vetor genérico vec x esteja nesse plano basta que vec x seja combinação linear de vec v1 e vec v2, o que equivale ao produto misto
[vec v1,vec v2,vec x] =vec xcdot(vec v1timesvec v2)=0
Isto garante coplanaridade.

Passo 4

Calculamos o vetor normal
vec n=vec v1timesvec v2 =(1,2,-1)times(2,-1,3) =(5,-5,-5),
que pode ser simplificado para (1,-1,-1). Assim a equação do plano, que passa pela origem, é
vec ncdot(x,y,z)=0 ;Longrightarrow; x - y - z = 0

Resposta

Ponto mais próximo da origem: l(tfrac116,tfrac196,tfrac23r).
Distância mínima: raiztfrac836.
Equação do plano contendo r1 e r2:
x - y - z = 0

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