Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
(a) det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) det A^T;
(c) det(A^2);
(d) A^-1;
(e) det(-A);
(f) 3 A A^T.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1& 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede:
(a) det A por operações elementares de linha;
(b) det A^T;
(c) det(A^2);
(d) A^-1;
(e) det(-A);
(f) 3,A,A^T.

Passo 2

Vamos calcular det A zerando abaixo do pivô na 1ª coluna por operações do tipo “ Li>=ts Li + k,L1”, que não mudam o determinante.
Começando com
1 & 5 & -1 & 3 -1& 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
fazemos
L2 >=ts L2 + L1, L3 >=ts L3 - 6,L1, L4 >=ts L4 - 5,L1,
obtendo
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23& 9 & -19 0 & -22& 5 & -11

Passo 3

Agora zerei abaixo do pivô na 2ª coluna com
L3 >=ts L3 + tfrac237L2, L4 >=ts L4 + tfrac227L2,
ainda sem alterar o determinante, resultando em
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -tfrac67& 4 0 & 0 & -tfrac317& 11
Finalmente, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos pivôs. Aqui usamos apenas operações que não mudam det, então
det A = 1 ;times;7;times;l(-tfrac67r);times;11 = -66

Passo 4

(b) Como para toda matriz quadrada det(A^T)=det(A), temos
det A^T = -66

Passo 5

(c) Também vale det(A^2)=l(det Ar)^2. Logo
det(A^2)=(-66)^2=4356

Passo 6

(d) A inversa de A pode ser escrita pela fórmula clássica
A^-1=1det A,adj(A) =-166,adj(A),
onde adj(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores).

Passo 7

(e) Para uma matriz ntimes n, det(-A)=(-1)^ndet A. Como n=4 é par,
det(-A)=(-1)^4cdot(-66)= -66

Passo 8

(f) Primeiro calculamos A,A^T. Os elementos de A,A^T são os produtos internos das linhas de A. Isso dá
A A^T = 36 & 23 & 35 & 32 23 & 25 & -2 & 17 35 & -2 & 95 & 47 32 & 17 & 47 & 50
Multiplicando tudo por 3, obtemos
3,A,A^T = 108 & 69 & 105 & 96 69 & 75 & -6 & 51 105 & -6 & 285 & 141 96 & 51 & 141 & 150

Resposta

(a) det A = -66
(b) det A^T = -66
(c) det(A^2) = 4356
(d) A^-1 = -166,adj(A)
(e) det(-A) = -66
(f) 3,A,A^T = 108 & 69 & 105 & 96 69 & 75 & -6 & 51 105 & -6 & 285 & 141 96 & 51 & 141 & 150

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