Dada a matriz
, determine:
(a)
det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de
A ;
(b)
det A^T ;
(c)
det(A^2) ;
(d)
A^-1 ;
(e)
det(-A) ;
(f)
3 A A^T .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede:
(a)det A por operações elementares de linha;
(b)det A^T ;
(c)det(A^2) ;
(d)A^-1 ;
(e)det(-A) ;
(f)3,A,A^T .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 2
Vamos calcular
det A zerando abaixo do pivô na 1ª coluna por operações do tipo “
Li>=ts Li + k,L1 ”, que não mudam o determinante.
Começando com
Começando com
fazemos
obtendo
Passo 3
Agora zerei abaixo do pivô na 2ª coluna com
ainda sem alterar o determinante, resultando em
Finalmente, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos pivôs. Aqui usamos apenas operações que não mudam
det , então
Passo 4
(b) Como para toda matriz quadrada
det(A^T)=det(A) , temos
Passo 5
(c) Também vale
det(A^2)=l(det Ar)^2 . Logo
Passo 6
(d) A inversa de
A pode ser escrita pela fórmula clássica
onde
adj(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores).
Passo 7
(e) Para uma matriz
ntimes n ,
det(-A)=(-1)^ndet A . Como
n=4 é par,
Passo 8
(f) Primeiro calculamos
A,A^T . Os elementos de
A,A^T são os produtos internos das linhas de
A . Isso dá
Multiplicando tudo por 3, obtemos
Resposta
(a)
det A = -66
(b)det A^T = -66
(c)det(A^2) = 4356
(d)A^-1 = -166,adj(A)
(e)det(-A) = -66
(f)3,A,A^T = 108 & 69 & 105 & 96 69 & 75 & -6 & 51 105 & -6 & 285 & 141 96 & 51 & 141 & 150
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)