Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
lx-2 y-z-8=0 2 x+3 y+13=0

Passo 1

O enunciado pede a reta que é a interseção de dois planos
x - 2y - z - 8 = 0, 2x + 3y + 13 = 0
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos precisar
  1. do vetor direção da reta, que é o produto vetorial dos normais dos planos;
  2. de um ponto comum aos dois planos, obtido resolvendo o sistema.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos:
n1 = (1,,-2,,-1), n2 = (2,,3,,0)
O vetor direção v da reta é
v = n1 times n2

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
v = i & j & k 1 & -2 & -1 2 & 3 & 0 = ( (-2)cdot0 - (-1)cdot3,; - (1cdot0 - (-1)cdot2),; 1cdot3 - (-2)cdot2 ) = (3,,-2,,7)

Passo 4

Agora achamos um ponto comum aos dois planos. Da segunda equação isolamos
2x + 3y + 13 = 0 ;Longrightarrow; x = -3y - 132
Substituindo em x - 2y - z - 8 = 0:
-3y - 132 - 2y - z - 8 = 0 ;Longrightarrow; -3y -13 -4y -2z -16 = 0 ;Longrightarrow; 7y + 2z + 29 = 0 ;Longrightarrow; z = -7y - 292
Tomando y = -1 (escolha conveniente) obtemos
x = -3(-1) - 132 = -5, z = -7(-1) - 292 = -11
Logo um ponto na reta é P(-5,-1,-11).

Passo 5

A equação vetorial da reta fica
r(t) = (-5,,-1,,-11) + t,(3,,-2,,7)
Em forma paramétrica:
x = -5 + 3t, y = -1 - 2t, z = -11 + 7t
E, em forma simétrica:
x + 53 = y + 1-2 = z + 117

Resposta

x = -5 + 3t, y = -1 - 2t, z = -11 + 7t, ou x + 53 = y + 1-2 = z + 117

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