Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas:
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Fazemos uma mudança de variável para simplificar a expressão
. Tome
Então
. Para a diferencial, derivando ambos os lados:
Os limites transformam-se assim: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original obtemos
Agrupando fatores:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
Uma maneira organizada é usar a recorrência obtida por integração por partes. Defina
para inteiro
. Aplicando integração por partes em
, escolha
e
. Então
e
não; para ficar claro: vamos usar a forma padrão:
escolha e
. Então
e
não — atenção, a primitiva de
é
. Assim a fórmula de integração por partes dá
escolha
O termo de fronteira é
Observação importante: para todo inteiro
vale
porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer polinômio (pode-se justificar usando L’Hospital ou reconhecer o fato padrão). Além disso
para
. Portanto o termo de fronteira é zero e ficamos com
Passo 5
Usamos a recorrência para
:
Calculamos
diretamente:
Portanto
Passo 6
Voltando à integral original, lembramos que
Como
, obtemos