Aplicações na análise de Fourier e Laplace. Calcule:
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } x e^{-\sqrt{x}},\qquad \text{intervalo: }[0,\infty).
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Fazemos uma mudança de variável para simplificar a expressão e^{-\sqrt{x}}. Tome
u=\sqrt{x}.
Então x=u^{2}. Para a diferencial, derivando ambos os lados:
dx = 2u\,du.
Os limites transformam-se assim: quando x=0 temos u=0; quando x\to\infty temos u\to\infty.

Passo 3

Substituindo x=u^{2} e dx=2u\,du na integral original obtemos
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}}\,dx = \int_{0}^{\infty} u^{2} e^{-u}\cdot 2u\,du.
Agrupando fatores:
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-u}\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral
\int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-u}\,du.
Uma maneira organizada é usar a recorrência obtida por integração por partes. Defina
I_{n}=\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du
para inteiro n\ge 0. Aplicando integração por partes em I_{n}, escolha v_{1}=u^{n} e dv_{1}=e^{-u}du. Então dv_{1}=e^{-u}du e v_{2}=-e^{-u} não; para ficar claro: vamos usar a forma padrão:
escolha a=u^{n} e db=e^{-u}du. Então da = n u^{n-1}du e b = -e^{-u} não — atenção, a primitiva de e^{-u} é -e^{-u}. Assim a fórmula de integração por partes dá
I_{n}=\Big[u^{n}(-e^{-u})\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} n u^{n-1} e^{-u}\,du.
O termo de fronteira é
\lim_{u\to\infty} \big(-u^{n}e^{-u}\big) - \big(-0^{n}e^{0}\big).
Observação importante: para todo inteiro n\ge 0 vale \lim_{u\to\infty} u^{n}e^{-u}=0 porque a exponencial decresce muito mais rápido que qualquer polinômio (pode-se justificar usando L’Hospital ou reconhecer o fato padrão). Além disso 0^{n}e^{0}=0 para n>0. Portanto o termo de fronteira é zero e ficamos com
I_{n} = n I_{n-1}.

Passo 5

Usamos a recorrência para n=3:
I_{3} = 3 I_{2},\qquad I_{2}=2 I_{1},\qquad I_{1}=1 I_{0}.
Calculamos I_{0} diretamente:
I_{0}=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \Big[-e^{-u}\Big]_{0}^{\infty} = 0 -(-1)=1.
Portanto
I_{1}=1\cdot I_{0}=1,
I_{2}=2\cdot I_{1}=2,
I_{3}=3\cdot I_{2}=3\cdot 2=6.

Passo 6

Voltando à integral original, lembramos que
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-u}\,du = 2 I_{3}.
Como I_{3}=6, obtemos
\int_{0}^{\infty} x e^{-\sqrt{x}}\,dx = 2\cdot 6 = 12.

Resposta

12

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