Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^{n}}{5^{n}-7}
Passo 1
O que o problema pede: calcular a soma infinita
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^{n}}{5^{n}-7}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \;n varia por todos os inteiros não negativos (n=0,1,2,\dots).
Os termos são \displaystyle a_n=\frac{(-4)^n}{5^n-7}.
Observação útil imediata: para n grande temos 5^n crescendo mais rápido que (-4)^n, então a soma tem chances de convergir (mas vamos provar e usar isso explicitamente nos próximos passos).
Passo 2
Separar os primeiros termos que causam problemas em manipulações algébricas e preparar uma expansão válida para os demais termos.
Calculemos os dois primeiros termos explicitamente:
Como \dfrac{4}{5^{k+1}}\le \dfrac{4}{5}<1 a soma em n é geométrica e finita; e para k grande o fator 7^k(4/5^{k+1})^2 decai geometricamente (razão aproximada 7/25<1), portanto a soma dupla absoluta converge. Assim é legítimo trocar as somas.
Passo 4
Trocar as somas e somar a série geométrica em n.
Trocando as somas e somando em n (para cada k fixo), com r_k=\dfrac{-4}{5^{k+1}},
Essa expressão é prática para computação numérica termo a termo. Note, porém, que separar as duas séries (cada uma isoladamente) não é conveniente analiticamente porque individuais divergem; somente a diferença entre elas converge. Mas como série numérica convergente, podemos somar os termos explícitos com rapidez: a razão efetiva para o crescimento em k é aproximadamente 7/25\approx 0{,}28, então a soma em k converge bastante rápido.
Passo 6
Cálculo numérico dos primeiros termos e controle do erro do restante.
Calculemos alguns primeiros termos exatos e seus valores decimais: