Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^{n}}{5^{n}-7}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma infinita
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^{n}}{5^{n}-7}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;n varia por todos os inteiros não negativos ( n=0,1,2,\dots).
Os termos são \displaystyle a_n=\frac{(-4)^n}{5^n-7}.
Observação útil imediata: para n grande temos 5^n crescendo mais rápido que (-4)^n, então a soma tem chances de convergir (mas vamos provar e usar isso explicitamente nos próximos passos).

Passo 2

Separar os primeiros termos que causam problemas em manipulações algébricas e preparar uma expansão válida para os demais termos.
Calculemos os dois primeiros termos explicitamente:
a_0=\frac{(-4)^0}{5^0-7}=\frac{1}{1-7}=\frac{1}{-6}=-\frac{1}{6},
a_1=\frac{(-4)^1}{5^1-7}=\frac{-4}{5-7}=\frac{-4}{-2}=2.
Somando-os:
a_0+a_1=2-\frac{1}{6}=\frac{12-1}{6}=\frac{11}{6}.
Para n\ge 2 temos 5^n\ge 5^2=25>7, portanto \displaystyle\left|\frac{7}{5^n}\right|<1. Isso nos permite escrever, para todo n\ge 2,
\frac{1}{5^n-7}=\frac{5^{-n}}{1-\dfrac{7}{5^n}} =5^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{7}{5^n}\right)^k =\sum_{k=0}^{\infty}7^k\,5^{-n(k+1)},
onde usei a expansão em série geométrica \dfrac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k válida para |x|<1.

Passo 3

Inserir essa expansão nos termos com n\ge 2 e reorganizar como soma dupla.
Para n\ge 2,
a_n=\frac{(-4)^n}{5^n-7}=(-4)^n\sum_{k=0}^{\infty}7^k\,5^{-n(k+1)} =\sum_{k=0}^{\infty}7^k\left(\frac{-4}{5^{k+1}}\right)^n.
Logo a parte da soma com n\ge 2 é
\sum_{n=2}^{\infty}a_n=\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}7^k\left(\frac{-4}{5^{k+1}}\right)^n.
Antes de trocar ordens de soma, justifiquei a troca mostrando convergência absoluta: tomar módulo dos termos dá
\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}7^k\left|\frac{-4}{5^{k+1}}\right|^n =\sum_{k=0}^{\infty}7^k\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{4}{5^{k+1}}\right)^n.
Como \dfrac{4}{5^{k+1}}\le \dfrac{4}{5}<1 a soma em n é geométrica e finita; e para k grande o fator 7^k(4/5^{k+1})^2 decai geometricamente (razão aproximada 7/25<1), portanto a soma dupla absoluta converge. Assim é legítimo trocar as somas.

Passo 4

Trocar as somas e somar a série geométrica em n.
Trocando as somas e somando em n (para cada k fixo), com r_k=\dfrac{-4}{5^{k+1}},
\sum_{n=2}^{\infty}\left(r_k\right)^n=\frac{r_k^2}{1-r_k}.
Portanto
\sum_{n=2}^{\infty}a_n=\sum_{k=0}^{\infty}7^k\cdot\frac{\left(\dfrac{-4}{5^{k+1}}\right)^2}{1-\dfrac{-4}{5^{k+1}}}.
Agora simplificamos a expressão algebricamente:
\frac{\left(\dfrac{-4}{5^{k+1}}\right)^2}{1+\dfrac{4}{5^{k+1}}} =\frac{16}{5^{2k+2}}\cdot\frac{1}{\dfrac{5^{k+1}+4}{5^{k+1}}} =\frac{16}{5^{k+1}(5^{k+1}+4)}.
Multiplicando pelo 7^k obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}a_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{16\cdot 7^k}{5^{k+1}\bigl(5^{k+1}+4\bigr)}.
Portanto a soma total é
S=\underbrace{\left(a_0+a_1\right)}_{=\;11/6}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{16\cdot 7^k}{5^{k+1}\bigl(5^{k+1}+4\bigr)}.

Passo 5

Transformação útil (parcial) e observação sobre convergência rápida.
Note que, usando a identidade
\frac{1}{A(A+4)}=\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{A}-\frac{1}{A+4}\Bigr),
com A=5^{k+1}, temos
\frac{16\cdot 7^k}{5^{k+1}(5^{k+1}+4)}=4\cdot 7^k\Bigl(\frac{1}{5^{k+1}}-\frac{1}{5^{k+1}+4}\Bigr).
Essa expressão é prática para computação numérica termo a termo. Note, porém, que separar as duas séries (cada uma isoladamente) não é conveniente analiticamente porque individuais divergem; somente a diferença entre elas converge. Mas como série numérica convergente, podemos somar os termos explícitos com rapidez: a razão efetiva para o crescimento em k é aproximadamente 7/25\approx 0{,}28, então a soma em k converge bastante rápido.

Passo 6

Cálculo numérico dos primeiros termos e controle do erro do restante.
Calculemos alguns primeiros termos exatos e seus valores decimais:
\begin{aligned} b_k&:=\frac{16\cdot 7^k}{5^{k+1}(5^{k+1}+4)}\\\ b_0&=\frac{16}{5\cdot9}=\frac{16}{45}\approx 0{,}3555555556,\\\ b_1&=\frac{16\cdot7}{25\cdot29}=\frac{112}{725}\approx 0{,}1544827586,\\\ b_2&=\frac{16\cdot49}{125\cdot129}=\frac{784}{16125}\approx 0{,}0486049383,\\\ b_3&=\frac{16\cdot343}{625\cdot629}=\frac{5488}{393125}\approx 0{,}0139599364,\\\ b_4&=\frac{16\cdot2401}{3125\cdot3129}=\frac{38416}{9778125}\approx 0{,}0039288200,\\\ b_5&=\frac{16\cdot16807}{15625\cdot15629}\approx 0{,}0011011820,\\\ b_6&\approx 0{,}0003085070,\\\ b_7&\approx 0{,}00008637, \quad b_8\approx 0{,}00002417,\\ \text{etc.} \end{aligned}
Somando os primeiros termos b_0 até b_6 obtemos aproximadamente
\sum_{k=0}^{6} b_k \approx 0{,}5779416989.
Somando também os pequenos b_7,b_8,b_9,\dots obtemos finalmente (com boa convergência)
\sum_{k=0}^{\infty} b_k \approx 0{,}5780614\quad\text{(erro do resto muito pequeno)}.
Estimativa do resto (tail): para k grande b_k se comporta como
b_k\sim \frac{16\cdot 7^k}{5^{2k+2}}=\frac{16}{25}\Bigl(\frac{7}{25}\Bigr)^k,
logo a cauda a partir de k=N fica limitada por uma geométrica:
R_N=\sum_{k=N}^{\infty} b_k \le \frac{16}{25}\sum_{k=N}^{\infty}\Bigl(\frac{7}{25}\Bigr)^k =\frac{16}{25}\cdot\frac{(7/25)^N}{1-7/25} =\frac{8}{9}\Bigl(\frac{7}{25}\Bigr)^N.
Escolhendo N=10 isso dá um erro inferior a cerca de 3\cdot 10^{-6}. Portanto a soma parcial que calculámos já dá pelo menos 6 dígitos corretos.

Passo 7

Juntando tudo e reportando o valor final com controle de erro.
Tínhamos a_0+a_1=\dfrac{11}{6} e
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} b_k\approx 0{,}5780614. Assim
S=\frac{11}{6}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{16\cdot 7^k}{5^{k+1}(5^{k+1}+4)} \approx \frac{11}{6}+0{,}5780614\approx 2{,}4113947,
com erro estimado pelo método numérico menor que 4\times 10^{-6}.

Resposta

S\approx 2{,}4113947

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