Taxas de variação e desafios:
Encontre uma função quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c tal que f(0)=4, f^{\prime}(0)=2 e f^{\prime \prime}(0)=10.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função quadrática \,f(x)=a x^{2}+b x+c\, que satisfaça três condições no ponto x=0:
  • \,f(0)=4\,,
  • \,f'(0)=2\,,
  • \,f''(0)=10\,.
As informações relevantes dadas são exatamente esses três valores de f e de suas derivadas avaliadas em 0. O objetivo é determinar os coeficientes a, b e c.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral da função e calcular as derivadas usando regras básicas:
  • A função geral é \;f(x)=a x^{2}+b x+c\;, onde a,b,c são números reais que queremos achar.
  • Regra do expoente (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo:
    • A derivada de a x^{2} é 2a x.
    • A derivada de b x é b.
    • A derivada de c (constante) é 0.
      Portanto a primeira derivada é
f'(x)=2a x + b.
  • Derivando novamente (derivada da primeira derivada):
    • A derivada de 2a x é 2a.
    • A derivada de b é 0.
      Assim a segunda derivada é
f''(x)=2a.

Passo 3

Agora avaliamos essas expressões em x=0 e igualamos às condições dadas:
  • Da definição de f: f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = c.Como \,f(0)=4\,, obtemos c=4.
  • Da primeira derivada: f'(0)=2a\cdot 0 + b = b.Como \,f'(0)=2\,, obtemos b=2.
  • Da segunda derivada: f''(0)=2a.Como \,f''(0)=10\,, obtemos 2a=10 \quad\Rightarrow\quad a=5.

Passo 4

Agora que encontramos os coeficientes \,a=5, \,b=2, \,c=4, montamos a função:
f(x)=5x^{2}+2x+4.
Vamos verificar rapidamente (checar é sempre bom na prova):
  • f(0)=4 (ok);
  • f'(x)=10x+2 então f'(0)=2 (ok);
  • f''(x)=10 então f''(0)=10 (ok).

Passo 5

Resumo didático e dica para a prova: para polinômios, avaliar derivadas em 0 dá equações muito simples porque termos com x desaparecem ao avaliar em 0. Em especial, para um polinômio geral a relação entre coeficientes e derivadas em 0 é a que aparece na expansão de Taylor centrada em 0: o coeficiente do termo x^{k} é \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}. Aqui, para k=2 isso dá a=\dfrac{f''(0)}{2!}=\dfrac{10}{2}=5. Essa observação é útil quando a condição fornece derivadas em 0.

Resposta

f(x)=5x^{2}+2x+4

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