Taxas de variação e desafios:
Encontre uma função quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c tal que f(0)=4, f^{\prime}(0)=2 e f^{\prime \prime}(0)=10.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função quadrática \,f(x)=a x^{2}+b x+c\, que satisfaça três condições no ponto x=0:
\,f(0)=4\,,
\,f'(0)=2\,,
\,f''(0)=10\,.
As informações relevantes dadas são exatamente esses três valores de f e de suas derivadas avaliadas em 0. O objetivo é determinar os coeficientes a, b e c.
Passo 2
Vamos escrever a forma geral da função e calcular as derivadas usando regras básicas:
A função geral é \;f(x)=a x^{2}+b x+c\;, onde a,b,c são números reais que queremos achar.
Regra do expoente (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo:
A derivada de a x^{2} é 2a x.
A derivada de b x é b.
A derivada de c (constante) é 0.
Portanto a primeira derivada é
f'(x)=2a x + b.
Derivando novamente (derivada da primeira derivada):
A derivada de 2a x é 2a.
A derivada de b é 0.
Assim a segunda derivada é
f''(x)=2a.
Passo 3
Agora avaliamos essas expressões em x=0 e igualamos às condições dadas:
Da definição de f:f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = c.Como \,f(0)=4\,, obtemosc=4.
Da primeira derivada:f'(0)=2a\cdot 0 + b = b.Como \,f'(0)=2\,, obtemosb=2.
Da segunda derivada:f''(0)=2a.Como \,f''(0)=10\,, obtemos2a=10 \quad\Rightarrow\quad a=5.
Passo 4
Agora que encontramos os coeficientes \,a=5, \,b=2, \,c=4, montamos a função:
f(x)=5x^{2}+2x+4.
Vamos verificar rapidamente (checar é sempre bom na prova):
f(0)=4 (ok);
f'(x)=10x+2 então f'(0)=2 (ok);
f''(x)=10 então f''(0)=10 (ok).
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova: para polinômios, avaliar derivadas em 0 dá equações muito simples porque termos com x desaparecem ao avaliar em 0. Em especial, para um polinômio geral a relação entre coeficientes e derivadas em 0 é a que aparece na expansão de Taylor centrada em 0: o coeficiente do termo x^{k} é \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}. Aqui, para k=2 isso dá a=\dfrac{f''(0)}{2!}=\dfrac{10}{2}=5. Essa observação é útil quando a condição fornece derivadas em 0.