Taxas de variação e desafios:
O custo de produção de
unidades de um produto é
. Encontre o custo marginal
e interprete o resultado.
O custo de produção de
Passo 1
O enunciado dá a função custo
onde
é a quantidade produzida (unidades) e
é o custo total (em unidades monetárias). Pede duas coisas:
- Calcular o custo marginal em
, isto é . - Interpretar o resultado (o que esse número significa no contexto de custo/produção).
Passo 2
O que é “custo marginal” na linguagem de cálculo? Vou explicar devagar e com carinho.
- Derivada: a derivada
de uma função mede a taxa instantânea de variação do custo quando a produção muda. Formalmente, é o limite do quociente de diferenças quando a variação na produção vai a zero. - Interpretação prática:
diz, aproximadamente, quanto o custo total aumenta se a produção aumentar de uma unidade (ou por uma pequena quantidade) quando já se produz unidades. Por isso, em economia, chamamos de custo marginal. - Unidades: se
está em “reais” (ou outra moeda) e em unidades produzidas, então tem unidade “reais por unidade produzida”.
Passo 3
Quais regras de diferenciação vamos usar? Vou listar e explicar rapidamente cada uma que aplicarei:
- Regra do poder (power rule): para
, vale . Ex.: derivada de é . - Regra do fator constante: para
constante e , . Ex.: derivada de é vezes derivada de . - Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
. - Derivada de termo linear: se
então . - Derivada de constante: se
com constante então .
Passo 4
Agora aplico as regras à função dada. Vou derivar termo a termo:
- Derivada de
: pela regra do fator constante e do poder, . - Derivada de
: como é linear, . - Derivada de
: constante, logo .
Somando tudo pela regra da soma:
Passo 5
Agora avalio em
:
Calculo passo a passo:
logo
Passo 6
Interpretação numérica e teste de aproximação:
- O valor
significa que, ao produzir unidades, o custo total aumenta aproximadamente (unidades monetárias) para cada unidade adicional produzida — ou seja, o custo marginal é de por unidade nesse ponto. - Para ver a qualidade da aproximação, calculemos a variação de custo discreta de
para :
Note que
. Então
Isso confirma que a derivada fornece uma boa aproximação:
aproxima a variação discreta real
. A diferença é pequena porque a função é suave e a mudança considerou apenas uma unidade.
Passo 7
Resumo intuitivo e dica para prova:
- Para funções polinomiais, derive termo a termo usando a regra do poder; é direto e rápido.
- Interprete sempre o resultado com unidades (aqui: moeda por unidade produzida).
- Se quiser checar, compare com
para ver se a aproximação faz sentido no ponto pedido.
Resposta
Interpretação: ao produzir