Taxas de variação e desafios:
O custo de produção de x unidades de um produto é C(x)=0,01 x^{2}+5 x+100. Encontre o custo marginal C^{\prime}(100) e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=0,01x^{2}+5x+100
onde x é a quantidade produzida (unidades) e C(x) é o custo total (em unidades monetárias). Pede duas coisas:
  • Calcular o custo marginal em x=100, isto é C'(100).
  • Interpretar o resultado (o que esse número significa no contexto de custo/produção).

Passo 2

O que é “custo marginal” na linguagem de cálculo? Vou explicar devagar e com carinho.
  • Derivada: a derivada C'(x) de uma função C(x) mede a taxa instantânea de variação do custo quando a produção x muda. Formalmente, é o limite do quociente de diferenças quando a variação na produção vai a zero.
  • Interpretação prática: C'(x) diz, aproximadamente, quanto o custo total aumenta se a produção aumentar de uma unidade (ou por uma pequena quantidade) quando já se produz x unidades. Por isso, em economia, chamamos C'(x) de custo marginal.
  • Unidades: se C(x) está em “reais” (ou outra moeda) e x em unidades produzidas, então C'(x) tem unidade “reais por unidade produzida”.

Passo 3

Quais regras de diferenciação vamos usar? Vou listar e explicar rapidamente cada uma que aplicarei:
  • Regra do poder (power rule): para f(x)=x^{n}, vale f'(x)=n x^{n-1}. Ex.: derivada de x^{2} é 2x.
  • Regra do fator constante: para a constante e f(x), (a\cdot f(x))' = a\cdot f'(x). Ex.: derivada de 0,01x^{2} é 0,01 vezes derivada de x^{2}.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas: (f+g)'=f'+g'.
  • Derivada de termo linear: se f(x)=ax então f'(x)=a.
  • Derivada de constante: se f(x)=k com k constante então f'(x)=0.

Passo 4

Agora aplico as regras à função dada. Vou derivar termo a termo:
C(x)=0,01x^{2}+5x+100.
  • Derivada de 0,01x^{2}: pela regra do fator constante e do poder, (0,01x^{2})' = 0,01\cdot (x^{2})' = 0,01\cdot 2x = 0,02x.
  • Derivada de 5x: como é linear, (5x)'=5.
  • Derivada de 100: constante, logo (100)'=0.
Somando tudo pela regra da soma:
C'(x)=0,02x+5.

Passo 5

Agora avalio em x=100:
C'(100)=0,02\cdot 100 + 5.
Calculo passo a passo:
0,02\cdot 100 = 2,
logo
C'(100)=2+5=7.

Passo 6

Interpretação numérica e teste de aproximação:
  • O valor C'(100)=7 significa que, ao produzir 100 unidades, o custo total aumenta aproximadamente 7 (unidades monetárias) para cada unidade adicional produzida — ou seja, o custo marginal é de 7 por unidade nesse ponto.
  • Para ver a qualidade da aproximação, calculemos a variação de custo discreta de 100 para 101:
C(101)-C(100)=0,01(101^{2}-100^{2})+5(101-100).
Note que 101^{2}-100^{2}=(101-100)(101+100)=1\cdot 201=201. Então
C(101)-C(100)=0,01\cdot 201 + 5 = 2,01 + 5 = 7,01.
Isso confirma que a derivada fornece uma boa aproximação: C'(100)=7 aproxima a variação discreta real 7,01. A diferença é pequena porque a função é suave e a mudança considerou apenas uma unidade.

Passo 7

Resumo intuitivo e dica para prova:
  • Para funções polinomiais, derive termo a termo usando a regra do poder; é direto e rápido.
  • Interprete sempre o resultado com unidades (aqui: moeda por unidade produzida).
  • Se quiser checar, compare com C(x+1)-C(x) para ver se a aproximação faz sentido no ponto pedido.

Resposta

\;C'(100)=7
Interpretação: ao produzir 100 unidades, o custo aumenta aproximadamente 7 (unidades monetárias) por unidade adicional; de 100 para 101 o custo cresce exatamente 7{,}01, confirmando a aproximação dada por C'(100).

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