8.8.3 Aplicações físicas

De maneira análoga ao que foi feito na Subseção 7.9.5, vamos analisar o uso das integrais triplas para calcular a massa de um corpo, as coordenadas do seu centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo L.
Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto ( x, y, z ) é dada pela função \delta=\delta(x, y, z), contínua em T.
Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados, como foi feito na Seção 8.1. Seja T_{k} um paralelepípedo genérico, dessa subdivisão, com volume \Delta V_{k}. Um valor aproximado da massa de T_{k} pode ser escrito por
\delta\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right) \Delta V_{k},
onde ( x_{k}, y_{k}, z_{k} ) é um ponto genérico de T_{k}.
Um valor aproximado da massa total do corpo ou sólido é dado por
\sum_{k=1}^{n} \delta\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right) \Delta V_{k} .
A massa total do corpo ou sólido é definida pelo limite da soma em (7) quando n \rightarrow \infty e a maior aresta dos paralelepípedos T_{k} tende a zero, se esse limite existir.
Temos
M=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \delta\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right) \Delta V_{k}
ou
M=\iiint_{T} \delta(x, y, z) d V .
O momento de massa em relação ao plano x y, da parte do sólido que corresponde a T_{k}, é aproximadamente igual a
z_{k} \delta\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right) \Delta V_{k} .
O momento de massa em relação ao plano x y do sólido T é dado por
M_{x y}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} z_{k} \delta\left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right) \Delta V_{k}
ou
M_{x y}=\iiint_{T} z \delta(x, y, z) d V .
Analogamente, obtêm-se:
o momento de massa em relação ao plano x z,
M_{x z}=\iiint_{T} y \delta(x, y, z) d V ;
o momento de massa em relação ao plano yz,
M_{y z}=\iiint_{T} x \delta(x, y, z) d V .
As coordenadas do centro de massa, denotadas por (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}), são definidas por
\bar{x}=\frac{M_{y z}}{M} ; \bar{y}=\frac{M_{x z}}{M} \text { e } \bar{z}=\frac{M_{x y}}{M} .
Outro conceito, já discutido na Subseção 7.9.5, é o de momento de inércia em relação a um eixo L. No caso de sólidos, temos que a distância de uma partícula, com massa concentrada em \left(x_{k}, y_{k}, z_{k}\right), até:
  • o eixo z é d_{x y}=\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)^{\frac{1}{2}};
  • o eixo y é d_{x z}=\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)^{\frac{1}{2}};
  • o eixo x é d_{y z}=\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.
Os momentos de inércia correspondentes são dados por:
Momento de inércia, I_{z} em relação ao eixo z,
I_{z}=\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}\right) \delta(x, y, z) d V
Momento de inércia, I_{x}, em relação ao eixo x,
I_{x}=\iiint_{T}\left(y^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d V ; \mathrm{e}
Momento de inércia, I_{y}, em relação ao eixo y,
I_{y}=\iiint_{T}\left(x^{2}+z^{2}\right) \delta(x, y, z) d V .

Passo 1

O enunciado nos dá um sólido T (uma região fechada e limitada do espaço) e uma densidade de massa \delta=\delta(x,y,z), contínua em T. O que é pedido implicitamente neste trecho é: como calcular (i) a massa total do sólido, (ii) os momentos de massa em relação aos planos coordenados, (iii) as coordenadas do centro de massa e (iv) os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados. Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{densidade: }\delta(x,y,z),\\\ &\text{volume elemental aproximado: }\Delta V_k\text{ (ou infinitesimal }dV\text{)},\\\ &\text{massa aproximada de um paralelepípedo: }\delta(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k. \end{aligned}í

Passo 2

Derivação e fórmula da massa total. Ideia: dividir T em muitos paralelepípedos pequenos T_k com volume \Delta V_k. A massa aproximada de cada pedaço é \delta(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k. Somando e passando ao limite obtemos a integral tripla:
M=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \delta(x_k,y_k,z_k)\Delta V_k=\iiint_T \delta(x,y,z)\,dV.
Explicando o que é cada coisa:
  • M é a massa total do sólido.
  • \delta(x,y,z) é a densidade (massa por unidade de volume) no ponto (x,y,z).
  • dV é o elemento de volume; em coordenadas cartesianas dV=dx\,dy\,dz.
    Exemplo simples (para fixar): se \delta(x,y,z)=\rho_0 (densidade constante) e T é a caixa a\le x\le b,\;c\le y\le d,\;e\le z\le f, então
M=\iiint_T \rho_0\,dV=\rho_0\,(b-a)(d-c)(f-e).
Isto confirma a intuição: massa = densidade × volume.

Passo 3

Momentos em relação aos planos e centro de massa. Motivação: o momento de massa em relação a um plano é soma dos produtos (distância ao plano)×(massa da partícula). Para um pedaço com massa \delta(x,y,z)dV:
  • momento em relação ao plano xy (distância é z): contribuição z\,\delta(x,y,z)\,dV. Assim
M_{xy}=\iiint_T z\,\delta(x,y,z)\,dV.
  • momento em relação ao plano xz:
M_{xz}=\iiint_T y\,\delta(x,y,z)\,dV.
  • momento em relação ao plano yz:
M_{yz}=\iiint_T x\,\delta(x,y,z)\,dV.
As coordenadas do centro de massa (\bar x,\bar y,\bar z) são obtidas dividindo o momento correspondente pela massa total:
\bar x=\frac{M_{yz}}{M},\qquad \bar y=\frac{M_{xz}}{M},\qquad \bar z=\frac{M_{xy}}{M}.
Exemplo concreto (caixa uniforme do Passo 2 com \delta=\rho_0): calcule \bar x.
M_{yz}=\iiint_T x\,\rho_0\,dV=\rho_0\int_a^b x\,dx\int_c^d dy\int_e^f dz =\rho_0\frac{b^2-a^2}{2}(d-c)(f-e).
Dividindo por M=\rho_0(b-a)(d-c)(f-e) vem
\bar x=\frac{\frac{b^2-a^2}{2}}{b-a}=\frac{a+b}{2},
ou seja, a coordenada x do centro de massa é o ponto médio de a e b. Analogamente \bar y=(c+d)/2 e \bar z=(e+f)/2. Isso mostra como operar com as integrais na prática.

Passo 4

Momentos de inércia em relação a um eixo. Definição física e fórmula: o momento de inércia em relação a um eixo é a soma (integral) da massa de cada partícula multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo. Para os eixos coordenados temos, lembrando distância de um ponto (x,y,z) ao eixo:
  • eixo z: distância \sqrt{x^2+y^2} ⇒ fator (x^2+y^2). Assim
I_z=\iiint_T (x^2+y^2)\,\delta(x,y,z)\,dV.
  • eixo x:
I_x=\iiint_T (y^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dV.
  • eixo y:
I_y=\iiint_T (x^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dV.
Exemplo prático e fácil de computar sem calculadora: cubo uniforme de aresta 2 centrado na origem, \delta=\rho_0 e T=\{(x,y,z):-1\le x,y,z\le1\}. Calcule I_z.
Primeiro, \int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2 dx = 2\cdot\frac{1^3}{3}=\tfrac{2}{3}.
Nós temos
I_z=\iiint_T (x^2+y^2)\rho_0\,dV = \rho_0\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{-1}^1 (x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx.
Integrando em z dá fator 2. Então
I_z=2\rho_0\left(\int_{-1}^1 x^2 dx\int_{-1}^1 dy+\int_{-1}^1 y^2 dy\int_{-1}^1 dx\right) =2\rho_0\left(\tfrac{2}{3}\cdot 2 + \tfrac{2}{3}\cdot 2\right) =2\rho_0\cdot \tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3}\rho_0.
Se \rho_0=1 então I_z=\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Quando trocar de coordenadas (dica prática). Em muitos sólidos a simetria torna mais simples usar coordenadas cilíndricas ou esféricas. Sempre lembrar dos elementos de volume (Jacobian):
  • coordenadas cilíndricas (r,\theta,z): \;dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta): \;dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
    Exemplo clássico (cilíndrico): cilindro de raio R, altura h, com densidade constante \rho_0. Em coordenadas cilíndricas
M=\iiint_T \rho_0\,dV=\rho_0\int_{z=0}^h\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^R r\,dr\,d\theta\,dz =\rho_0\cdot h\cdot 2\pi\cdot\frac{R^2}{2}=\rho_0\pi R^2 h.
Momento de inércia em relação ao eixo z (usar x^2+y^2=r^2):
I_z=\iiint_T r^2\,\rho_0\,dV=\rho_0\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz =\rho_0\cdot h\cdot 2\pi\cdot\frac{R^4}{4}=\tfrac{1}{2}\rho_0\pi R^4 h,
que é o resultado conhecido para cilindro maciço.

Passo 6

Dicas finais e verificação: sempre verifique unidades (massa tem unidade densidade×volume), use simetria para simplificar integrais (paridade: quando integrando uma função ímpar numa região simétrica em torno da origem o resultado é zero), e escolha o sistema de coordenadas que torne o domínio simples (retangular → cartesianas; cilíndrico para eixos com simetria circular; esférico para esferas/hemi-esferas). Vai dar certo — respira fundo, organiza o domínio e monta a integral com calma. Você consegue!

Resposta

M=\displaystyle\iiint_T \delta(x,y,z)\,dV
M_{xy}=\displaystyle\iiint_T z\,\delta(x,y,z)\,dV,\quad M_{xz}=\displaystyle\iiint_T y\,\delta(x,y,z)\,dV,\quad M_{yz}=\displaystyle\iiint_T x\,\delta(x,y,z)\,dV
\displaystyle\bar x=\frac{M_{yz}}{M},\quad \bar y=\frac{M_{xz}}{M},\quad \bar z=\frac{M_{xy}}{M}
I_z=\displaystyle\iiint_T (x^2+y^2)\,\delta(x,y,z)\,dV,\quad I_x=\displaystyle\iiint_T (y^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dV,\quad I_y=\displaystyle\iiint_T (x^2+z^2)\,\delta(x,y,z)\,dV
Exemplos: para caixa a\le x\le b,\;c\le y\le d,\;e\le z\le f com \delta=\rho_0: M=\rho_0(b-a)(d-c)(f-e) e \bar x=(a+b)/2,\;\bar y=(c+d)/2,\;\bar z=(e+f)/2.
Para cubo [-1,1]^3 com \rho_0: I_z=\tfrac{16}{3}\rho_0.
Para cilindro de raio R e altura h com \rho_0: M=\rho_0\pi R^2 h,\quad I_z=\tfrac{1}{2}\rho_0\pi R^4 h.

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