8.8.3 Aplicações físicas
De maneira análoga ao que foi feito na Subseção 7.9.5, vamos analisar o uso das integrais triplas para calcular a massa de um corpo, as coordenadas do seu centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo
.
Seja
um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto (
) é dada pela função
, contínua em
.
Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir
por planos paralelos aos planos coordenados, como foi feito na Seção 8.1. Seja
um paralelepípedo genérico, dessa subdivisão, com volume
. Um valor aproximado da massa de
pode ser escrito por
onde (
) é um ponto genérico de
.
Um valor aproximado da massa total do corpo ou sólido é dado por
A massa total do corpo ou sólido é definida pelo limite da soma em (7) quando
e a maior aresta dos paralelepípedos
tende a zero, se esse limite existir.
Temos
ou
O momento de massa em relação ao plano
, da parte do sólido que corresponde a
, é aproximadamente igual a
O momento de massa em relação ao plano
do sólido
é dado por
ou
Analogamente, obtêm-se:
o momento de massa em relação ao plano
,
o momento de massa em relação ao plano yz,
As coordenadas do centro de massa, denotadas por
, são definidas por
Outro conceito, já discutido na Subseção 7.9.5, é o de momento de inércia em relação a um eixo
. No caso de sólidos, temos que a distância de uma partícula, com massa concentrada em
, até:
- o eixo
é
;
- o eixo y é
;
- o eixo
é
.
Os momentos de inércia correspondentes são dados por:
Momento de inércia,
em relação ao eixo
,
Momento de inércia,
, em relação ao eixo
,
Momento de inércia,
, em relação ao eixo
,
Um valor aproximado da massa total do corpo ou sólido é dado por
o momento de massa em relação ao plano
Momento de inércia,
Passo 1
O enunciado nos dá um sólido
(uma região fechada e limitada do espaço) e uma densidade de massa
, contínua em
. O que é pedido implicitamente neste trecho é: como calcular (i) a massa total do sólido, (ii) os momentos de massa em relação aos planos coordenados, (iii) as coordenadas do centro de massa e (iv) os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados. Informações relevantes dadas:
Passo 2
Derivação e fórmula da massa total. Ideia: dividir
em muitos paralelepípedos pequenos
com volume
. A massa aproximada de cada pedaço é
. Somando e passando ao limite obtemos a integral tripla:
Explicando o que é cada coisa:
-
é a massa total do sólido. -
é a densidade (massa por unidade de volume) no ponto . -
é o elemento de volume; em coordenadas cartesianas .
Exemplo simples (para fixar): se(densidade constante) e é a caixa , então
Isto confirma a intuição: massa = densidade × volume.
Passo 3
Momentos em relação aos planos e centro de massa. Motivação: o momento de massa em relação a um plano é soma dos produtos (distância ao plano)×(massa da partícula). Para um pedaço com massa
:
- momento em relação ao plano
(distância é ): contribuição . Assim
- momento em relação ao plano
:
- momento em relação ao plano
:
As coordenadas do centro de massa
são obtidas dividindo o momento correspondente pela massa total:
Exemplo concreto (caixa uniforme do Passo 2 com
): calcule
.
Dividindo por
vem
ou seja, a coordenada
do centro de massa é o ponto médio de
e
. Analogamente
e
. Isso mostra como operar com as integrais na prática.
Passo 4
Momentos de inércia em relação a um eixo. Definição física e fórmula: o momento de inércia em relação a um eixo é a soma (integral) da massa de cada partícula multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo. Para os eixos coordenados temos, lembrando distância de um ponto
ao eixo:
- eixo
: distância ⇒ fator . Assim
- eixo
:
- eixo
:
Exemplo prático e fácil de computar sem calculadora: cubo uniforme de aresta
centrado na origem,
e
. Calcule
.
Primeiro, .
Nós temos
Primeiro,
Nós temos
Integrando em
dá fator
. Então
Se
então
.
Passo 5
Quando trocar de coordenadas (dica prática). Em muitos sólidos a simetria torna mais simples usar coordenadas cilíndricas ou esféricas. Sempre lembrar dos elementos de volume (Jacobian):
- coordenadas cilíndricas
: . - coordenadas esféricas
: .
Exemplo clássico (cilíndrico): cilindro de raio, altura , com densidade constante . Em coordenadas cilíndricas
Momento de inércia em relação ao eixo
(usar
):
que é o resultado conhecido para cilindro maciço.
Passo 6
Dicas finais e verificação: sempre verifique unidades (massa tem unidade densidade×volume), use simetria para simplificar integrais (paridade: quando integrando uma função ímpar numa região simétrica em torno da origem o resultado é zero), e escolha o sistema de coordenadas que torne o domínio simples (retangular → cartesianas; cilíndrico para eixos com simetria circular; esférico para esferas/hemi-esferas). Vai dar certo — respira fundo, organiza o domínio e monta a integral com calma. Você consegue!
Resposta
Exemplos: para caixa
Para cubo
Para cilindro de raio