Calcular as seguintes integrais
a) \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d z d y d x
b) \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{4-x^{2}-y^{2}} x^{2} d z d y d x
c) \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{4} d z d y d x
d) \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}^{1} x^{2} d z d y d x
e) \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} \frac{1}{2+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x
f) \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x

Passo 1

Você me pediu para calcular seis integrais triplas (a) a (f). Vou listar o que cada enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda:
a) Calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d z d y d x.
Dados relevantes: as desigualdades y\ge0, z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1 definem a região de integração.
b) Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{4-x^{2}-y^{2}} x^{2} d z d y d x.
Dados relevantes: x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x^{2}+y^{2}\le 4; o teto em z é z=4-x^{2}-y^{2}.
c) Calcular \displaystyle \int_{0}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{4} d z d y d x.
Dados relevantes: z varia em [0,4]; para x\in[0,a] e y\in[-\sqrt{a^{2}-x^{2}},\sqrt{a^{2}-x^{2}}] a projeção no plano xy é a meia-lua (metade do disco de raio a).
d) Calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}^{1} x^{2} d z d y d x.
Dados relevantes: a projeção no xy é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le1; para cada (x,y) o z varia de z=(x^{2}+y^{2})^{2} até z=1.
e) Calcular \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} \frac{1}{2+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x.
Dados relevantes: x,y,z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2 — é um octante do bola de raio \sqrt{2}.
f) Calcular \displaystyle \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x.
Dados relevantes: x,y,z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 — é o octante positivo da bola de raio 3.
Agora começo as resoluções passo a passo, explicando as escolhas (coordenadas), o que acontece com o elemento de volume e as integrações.

Passo 2

Resolução da letra (a). Identificação da região e ideia de solução.
  • Observação da região: as desigualdades y\ge0, z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1 significam que estamos integrando sobre a porção da bola de raio 1 onde y e z são não negativos. Isso corta a bola por dois planos coordenados independentes ( y=0 e z=0). Cada uma dessas restrições reduz a bola pela metade; como são independentes, a região tem \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4} do volume da bola inteira.
  • Observação sobre o integrando: \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = (r^{2})^{\frac{3}{2}} = r^{3}, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Portanto o integrando é e^{r^{3}}, que depende só de r. Quando o integrando depende só de r é muito conveniente usar coordenadas esféricas ou explorar a simetria radial.
Vou usar a simetria: o integral sobre a bola inteira de raio 1 seria
\int_{\text{bola }r\le1} e^{r^{3}} dV = 4\pi \int_{0}^{1} e^{r^{3}} r^{2} dr,
porque a parte angular total (superfície de direção) é 4\pi. Como nossa região vale \tfrac{1}{4} da bola inteira, o integral pedido é \tfrac{1}{4} desse.

Passo 3

Continuação (cálculo efetivo) da letra (a).
  • Fazendo a substituição u=r^{3}. Primeiro escrevo a integral radial:
\int_{0}^{1} e^{r^{3}} r^{2} dr.
Se u=r^{3} então du=3r^{2}dr, ou seja r^{2}dr=\dfrac{du}{3}. Os limites: r=0\Rightarrow u=0, r=1\Rightarrow u=1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{3}} r^{2} dr = \int_{0}^{1} e^{u}\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\left[e^{u}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(e-1).
  • Multiplicando pelo fator angular \pi que já resulta de \tfrac{1}{4} do 4\pi (lembre: \tfrac{1}{4}\cdot4\pi=\pi), obtemos o valor final:
\text{(a)}=\pi\cdot \frac{1}{3}(e-1)=\frac{\pi}{3}(e-1).

Passo 4

Resolução da letra (b). Escolha de coordenadas e montagem do integral.
  • Região: x\in[0,2], y\in[0,\sqrt{4-x^{2}}]: isso é o quarto do disco de raio 2 no primeiro quadrante do plano xy. Para cada par (x,y) o z vai de 0 até 4-x^{2}-y^{2}. Isso sugere usar coordenadas polares (cilíndricas) no plano xy: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge0, \theta no primeiro quadrante [0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Elemento de volume: dV = dz\, r\,dr\,d\theta.
  • O integrando x^{2} vira r^{2}\cos^{2}\theta. O limite superior em z vira z=4-r^{2}. Assim o integral é
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} r^{2}\cos^{2}\theta \, dz \; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo efetivo da letra (b).
  • Integro primeiro em z:
\int_{0}^{4-r^{2}} dz = 4-r^{2}.
  • Então a integral reduz para
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2} r^{3}\cos^{2}\theta \,(4-r^{2})\, dr\, d\theta.
  • A integração separa-se em produto de uma integral em \theta e uma em r:
\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\cdot \left(\int_{0}^{2} r^{3}(4-r^{2})\,dr\right).
  • Calculando \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta. Uma identidade útil: \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
  • Agora a integral radial:
\int_{0}^{2} r^{3}(4-r^{2})\,dr = \int_{0}^{2}(4r^{3}-r^{5})\,dr = \left[r^{4}-\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{2} = 16-\frac{64}{6}=16-\frac{32}{3}=\frac{16}{3}.
  • Multiplicando: \dfrac{\pi}{4}\cdot\dfrac{16}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.
Portanto a resposta da letra (b) é \dfrac{4\pi}{3}.

Passo 6

Resolução da letra (c). Integração direta e interpretação geométrica.
  • Integro primeiro em z: \int_{0}^{4} dz = 4. Então o integral vira
4\int_{0}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy\, dx.
  • A integral dupla sobre x\in[0,a] e y\in[-\sqrt{a^{2}-x^{2}},\sqrt{a^{2}-x^{2}}] é a área da metade direita do disco de raio a, isto é, metade da área do disco \pi a^{2}. Logo essa integral vale \tfrac{1}{2}\pi a^{2}.
  • Multiplicando por 4 temos:
\text{\text{(c)}} = 4\cdot \frac{1}{2}\pi a^{2} = 2\pi a^{2}.

Passo 7

Resolução da letra (d). Uso de coordenadas polares.
  • Projeção no plano xy: disco unitário r\le1. O integrando é x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta. O limite em z vai de z=r^{4} até z=1 (porque (x^{2}+y^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}). O elemento de volume em coordenadas polares é dz\, r\,dr\,d\theta.
  • Montando o integral:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} \left(r^{2}\cos^{2}\theta\right)\left(1-r^{4}\right)\, r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\, d\theta \cdot \int_{0}^{1} r^{3}(1-r^{4})\,dr.

Passo 8

Cálculo efetivo da letra (d).
  • Calculo de \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta. Como a função \cos^{2}\theta tem média 1/2 num período 2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
  • Agora a integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}(1-r^{4})\,dr = \int_{0}^{1} (r^{3}-r^{7})\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}-\frac{r^{8}}{8}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
  • Multiplicando: \pi\cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{8}.
Portanto a resposta da letra (d) é \dfrac{\pi}{8}.

Passo 9

Resolução da letra (e). Identificação da região e escolha de coordenadas.
  • A condição x\in[0,\sqrt{2}],\; y\in[0,\sqrt{2-x^{2}}],\; z\in[0,\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}] significa que estamos no octante positivo ( x,y,z\ge0) dentro da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2. Isso é exatamente um oitavo (1/8) do volume radial da bola de raio \sqrt{2}.
  • O integrando é \dfrac{1}{2+x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \dfrac{1}{2+r^{2}}, que depende só de r. Isso torna natural usar coordenadas esféricas; como a região é 1/8 do todo e a função depende só de r, podemos tomar a integral sobre a bola inteira e multiplicar por 1/8, ou reconhecer que a parte angular contribui com \tfrac{1}{8}\cdot 4\pi = \tfrac{\pi}{2}.
  • Em coordenadas esféricas a integral radial (para a bola inteira) seria 4\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} \dfrac{r^{2}}{2+r^{2}} dr. Para nosso octante multiplicamos por \tfrac{1}{8}, obtendo fator angular \tfrac{\pi}{2}. Assim o integral pedido é
\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r^{2}}{2+r^{2}}\, dr.

Passo 10

Cálculo efetivo da letra (e).
  • Simplifico a integral radial usando divisão algébrica:
\frac{r^{2}}{2+r^{2}} = 1 - \frac{2}{2+r^{2}}.
  • Assim
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r^{2}}{2+r^{2}}\, dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} 1\,dr - 2\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{2+r^{2}}\,dr.
  • A primeira integral é \left[r\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
  • A segunda é uma forma arctan: \displaystyle \int \frac{1}{2+r^{2}} dr = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right). Logo
2\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{2+r^{2}}\,dr = 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\cdot \arctan(1) = \sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{4}.
  • Subtraindo:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r^{2}}{2+r^{2}}\, dr = \sqrt{2} - \sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
  • Multiplicando pelo fator angular \dfrac{\pi}{2} (lembrando que estamos em 1/8 da esfera):
\text{(e)} = \frac{\pi}{2}\cdot \sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right).

Passo 11

Resolução da letra (f). Região e uso da fórmula do volume.
  • A região x,y,z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 é o octante positivo da bola de raio 3. A integral de 1 sobre essa região é simplesmente o volume dessa parte.
  • Volume da bola de raio R é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}. Para R=3 o volume total é \dfrac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi. O octante é \tfrac{1}{8} desse volume, então
\text{(f)} = \frac{1}{8}\cdot 36\pi = \frac{36\pi}{8} = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

(a) \dfrac{\pi}{3}(e-1)
(b) \dfrac{4\pi}{3}
(c) 2\pi a^{2}
(d) \dfrac{\pi}{8}
(e) \dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\!\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)
(f) \dfrac{9\pi}{2}

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