Calcular as seguintes integrais
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Você me pediu para calcular seis integrais triplas (a) a (f). Vou listar o que cada enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda:
a) Calcular
.
Dados relevantes: as desigualdades ,
e
definem a região de integração.
Dados relevantes: as desigualdades
b) Calcular
.
Dados relevantes: ,
,
e
; o teto em
é
.
Dados relevantes:
c) Calcular
.
Dados relevantes: varia em
; para
e
a projeção no plano
é a meia-lua (metade do disco de raio
).
Dados relevantes:
d) Calcular
.
Dados relevantes: a projeção no é o disco unitário
; para cada
o
varia de
até
.
Dados relevantes: a projeção no
e) Calcular
.
Dados relevantes: e
— é um octante do bola de raio
.
Dados relevantes:
f) Calcular
.
Dados relevantes: e
— é o octante positivo da bola de raio
.
Dados relevantes:
Agora começo as resoluções passo a passo, explicando as escolhas (coordenadas), o que acontece com o elemento de volume e as integrações.
Passo 2
Resolução da letra (a). Identificação da região e ideia de solução.
- Observação da região: as desigualdades
, e significam que estamos integrando sobre a porção da bola de raio onde e são não negativos. Isso corta a bola por dois planos coordenados independentes ( e ). Cada uma dessas restrições reduz a bola pela metade; como são independentes, a região tem do volume da bola inteira. - Observação sobre o integrando:
, onde . Portanto o integrando é , que depende só de . Quando o integrando depende só de é muito conveniente usar coordenadas esféricas ou explorar a simetria radial.
Vou usar a simetria: o integral sobre a bola inteira de raio
seria
porque a parte angular total (superfície de direção) é
. Como nossa região vale
da bola inteira, o integral pedido é
desse.
Passo 3
Continuação (cálculo efetivo) da letra (a).
- Fazendo a substituição
. Primeiro escrevo a integral radial:
Se
então
, ou seja
. Os limites:
,
. Assim
- Multiplicando pelo fator angular
que já resulta de do (lembre: ), obtemos o valor final:
Passo 4
Resolução da letra (b). Escolha de coordenadas e montagem do integral.
- Região:
, : isso é o quarto do disco de raio no primeiro quadrante do plano . Para cada par o vai de até . Isso sugere usar coordenadas polares (cilíndricas) no plano : com , no primeiro quadrante . - Elemento de volume:
. - O integrando
vira . O limite superior em vira . Assim o integral é
Passo 5
Cálculo efetivo da letra (b).
- Integro primeiro em
:
- Então a integral reduz para
- A integração separa-se em produto de uma integral em
e uma em :
- Calculando
. Uma identidade útil: . Assim
- Agora a integral radial:
- Multiplicando:
.
Portanto a resposta da letra (b) é
.
Passo 6
Resolução da letra (c). Integração direta e interpretação geométrica.
- Integro primeiro em
: . Então o integral vira
- A integral dupla sobre
e é a área da metade direita do disco de raio , isto é, metade da área do disco . Logo essa integral vale . - Multiplicando por
temos:
Passo 7
Resolução da letra (d). Uso de coordenadas polares.
- Projeção no plano
: disco unitário . O integrando é . O limite em vai de até (porque ). O elemento de volume em coordenadas polares é . - Montando o integral:
Passo 8
Cálculo efetivo da letra (d).
- Calculo de
. Como a função tem média num período ,
- Agora a integral radial:
- Multiplicando:
.
Portanto a resposta da letra (d) é
.
Passo 9
Resolução da letra (e). Identificação da região e escolha de coordenadas.
- A condição
significa que estamos no octante positivo ( ) dentro da bola . Isso é exatamente um oitavo (1/8) do volume radial da bola de raio . - O integrando é
, que depende só de . Isso torna natural usar coordenadas esféricas; como a região é 1/8 do todo e a função depende só de , podemos tomar a integral sobre a bola inteira e multiplicar por , ou reconhecer que a parte angular contribui com . - Em coordenadas esféricas a integral radial (para a bola inteira) seria
. Para nosso octante multiplicamos por , obtendo fator angular . Assim o integral pedido é
Passo 10
Cálculo efetivo da letra (e).
- Simplifico a integral radial usando divisão algébrica:
- Assim
- A primeira integral é
. - A segunda é uma forma arctan:
. Logo
- Subtraindo:
- Multiplicando pelo fator angular
(lembrando que estamos em 1/8 da esfera):
Passo 11
Resolução da letra (f). Região e uso da fórmula do volume.
- A região
e é o octante positivo da bola de raio . A integral de sobre essa região é simplesmente o volume dessa parte. - Volume da bola de raio
é . Para o volume total é . O octante é desse volume, então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)