8.8.1 Cálculo de volume

Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada no espaço.
Para encontrar o volume desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados, como fai feito na Seção 8.1. Seja T_{k} um paralelepípedo genérico dessa subdivisão, com volume \Delta V_{k}. Um valor aproximado panz o volume total do sólido é dado por
\sum_{k=1}^{n} \Delta V_{k}
O volume do corpo é definido pelo limite da soma (1) quando n \rightarrow \infty e a maior aresta dos paralelepípedos T_{k} tende a zero se esse limite existir.
Temos
V=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \Delta V_{k} \quad \text { ou } \quad V=\iiint_{T} d V

Passo 1

O texto nos dá um corpo T (um sólido) fechado e limitado no espaço e explica a ideia de aproximar o seu volume subdividindo T em muitos paralelepípedos pequenos T_k.
Pergunta implícita: como passar dessa soma aproximada para uma fórmula exata para o volume?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
\;1.\; Existe uma subdivisão de T em n paralelepípedos T_k.
\;2.\; O volume aproximado é \displaystyle \sum_{k=1}^n \Delta V_k, onde \Delta V_k é o volume do k-ésimo paralelepípedo.
\;3.\; O volume exato é o limite dessa soma quando n\to\infty e a maior aresta dos paralelepípedos tende a zero, ou seja, V=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\Delta V_k.
Nada mais foi pedido explicitamente; a meta é entender e saber usar a passagem para a integral tripla \iiint_T dV.

Passo 2

Entendendo o paralelepípedo genérico e \Delta V_k.
Imagine dividir o intervalo de x em pedaços de comprimentos \Delta x_i, o de y em \Delta y_j e o de z em \Delta z_\ell. Cada pequeno bloco (paralelepípedo) tem volume aproximado dado pelo produto das arestas:
\Delta V_k \approx \Delta x\,\Delta y\,\Delta z.
Aqui cada símbolo significa: \Delta x é o comprimento do bloco na direção x, \Delta y na direção y, \Delta z na direção z. Esse é um passo intuitivo: o volume de um paralelepípedo retangular é base × altura × profundidade. Quando os paralelepípedos são muito pequenos, a aproximação fica exata no limite.

Passo 3

Passagem do somatório para a integral tripla (ideia de Riemann).
Formamos a soma de todos os pequenos volumes:
\sum_{k=1}^n \Delta V_k = \sum_{k=1}^n \Delta x_k\,\Delta y_k\,\Delta z_k.
Se refinarmos a malha (ou seja, tornarmos as arestas cada vez menores) e o número de blocos n cresce, essa soma se aproxima de um limite. Esse limite, quando existir, é precisamente a integral tripla do corpo T:
V=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \Delta V_k=\iiint_T dV.
Explicando dV: é a notação que representa o volume infinitesimal. Em coordenadas cartesianas isso equivale a dV = dx\,dy\,dz. Então, de modo operacional, calcular V significa avaliar uma integral iterada de 1 sobre a região T.

Passo 4

Como transformar \iiint_T dV em uma integral iterada prática (escolha de ordem e limites).
Para computarmos na prática usamos integrais iteradas. Uma forma comum de escrever é
V=\iiint_T dV = \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} dz\, dy\, dx,
onde:
  • a e b são os limites para x (projeção do sólido sobre o eixo x);
  • para cada x, y varia entre g_1(x) e g_2(x) (projeção sobre a reta vertical em cada x);
  • para cada (x,y), z varia entre as superfícies z=h_1(x,y) e z=h_2(x,y).
    Em palavras: projetamos o sólido numa das coordenadas (por exemplo, no plano xy) e descrevemos as alturas (superior e inferior) em função de (x,y). Essa é a forma mais direta quando o sólido é “verticalmente simples” (isto é, para cada (x,y) do domínio projetado existe um intervalo em z).

Passo 5

Fórmula prática quando o sólido é limitado por duas superfícies em z (caso vertical simples).
Se T é o conjunto de pontos (x,y,z) tal que (x,y) está em um domínio D do plano xy e z está entre z=h_1(x,y) e z=h_2(x,y), então
V=\iint_{D}\bigl(h_2(x,y)-h_1(x,y)\bigr)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (em coordenadas cartesianas dA = dx\,dy). Essa fórmula é muito útil porque reduz o problema a uma integral dupla sobre D.

Passo 6

Exemplo 1 (caixote retangular simples) — só para fixar a ideia. Calcular o volume do paralelepípedo com 0\le x\le 2, 0\le y\le 3, 0\le z\le 4.
Montamos a integral tripla:
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} dz\, dy\, dx.
Integramos passo a passo:
\int_{0}^{4} dz = [z]_{0}^{4}=4.
Logo
\int_{0}^{3} 4\, dy = [4y]_{0}^{3}=12.
E por fim
\int_{0}^{2} 12\, dx = [12x]_{0}^{2}=24.
O volume é 24. Aqui mostramos que a integral tripla recupera o produto das arestas para um bloco retangular.

Passo 7

Exemplo 2 (sólido limitado pelas faces coordenadas e pela reta z=4-x-y) — caso clássico de “pirâmide” triangular.
Definição do sólido T: pontos com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0 e abaixo da superfície z=4-x-y. Para z\ge0 precisamos de 4-x-y\ge0, ou seja x+y\le 4. A projeção D no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,4). Usamos a fórmula do Passo 5:
V=\iint_{D} (4-x-y)\, dA.
Escolhemos integrar em ordem dy\,dx com 0\le x\le4 e 0\le y\le 4-x:
V=\int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{4-x} (4-x-y)\, dy\, dx.
Primeira integral (em y):
\int_{0}^{4-x} (4-x-y)\, dy = \bigl[(4-x)y - \tfrac{y^2}{2}\bigr]_{0}^{4-x} = (4-x)(4-x) - \tfrac{(4-x)^2}{2} = \tfrac{(4-x)^2}{2}.
Agora integramos em x:
V=\int_{0}^{4} \tfrac{(4-x)^2}{2}\, dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} (4-x)^2\, dx.
Faça a substituição u=4-x (ou calcule o polinômio): quando x=0, u=4; quando x=4, u=0; dx=-du. Então
\int_{0}^{4} (4-x)^2\, dx = \int_{4}^{0} u^2(-du) = \int_{0}^{4} u^2\, du = \left[\tfrac{u^3}{3}\right]_0^4 = \tfrac{64}{3}.
Portanto
V=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{64}{3} = \tfrac{32}{3}.
O volume do sólido é \tfrac{32}{3}.

Passo 8

Curva de aprendizagem prática — escolha da ordem e coordenadas alternativas.
  • Se o sólido é mais fácil visto como variação em z sobre um domínio D no plano xy, use a fórmula do Passo 5.
  • Se a projeção sobre xy é complicada, experimente projetar sobre xz ou yz e integrar em outra ordem. Às vezes dividir T em duas (ou mais) partes simples é a melhor estratégia.
  • Quando o sólido tem simetria circular (cilindro, cone, esfera, etc.), use coordenadas cilíndricas: \;dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Em coordenadas esféricas dV=\rho^2\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta. Essas mudanças simplificam limites e cálculos em muitos problemas.

Passo 9

Exemplo 3 (cilindro) — uso de coordenadas cilíndricas para fixar a ideia. Volume de um cilindro de raio R e altura h. Em cilíndricas:
dV = r\, dr\, d\theta\, dz.
Os limites: 0\le r\le R, 0\le \theta\le 2\pi, 0\le z\le h. Então
V=\int_{z=0}^{h}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r\, dr\, d\theta\, dz.
Integre em r:
\int_{0}^{R} r\, dr = \left[\tfrac{r^2}{2}\right]_0^R = \tfrac{R^2}{2}.
Em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{R^2}{2}\, d\theta = \tfrac{R^2}{2}\cdot 2\pi = \pi R^2.
Em z:
\int_{0}^{h} \pi R^2\, dz = \pi R^2 h.
Recuperamos a conhecida fórmula do volume do cilindro: \pi R^2 h.

Resposta

V=\iiint_{T} dV (fórmula geral do volume por integral tripla).
Exemplo 1 (caixote): V=24.
Exemplo 2 (sólido sob z=4-x-y e sobre x\ge0,y\ge0): V=\tfrac{32}{3}.
Exemplo 3 (cilindro): V=\pi R^2 h.

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