8.8.1 Cálculo de volume
Seja
um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada e limitada no espaço.
Para encontrar o volume desse corpo, vamos subdividir
por planos paralelos aos planos coordenados, como fai feito na Seção 8.1. Seja
um paralelepípedo genérico dessa subdivisão, com volume
. Um valor aproximado panz o volume total do sólido é dado por
O volume do corpo é definido pelo limite da soma (1) quando
e a maior aresta dos paralelepípedos
tende a zero se esse limite existir.
Temos
Para encontrar o volume desse corpo, vamos subdividir
Passo 1
O texto nos dá um corpo
(um sólido) fechado e limitado no espaço e explica a ideia de aproximar o seu volume subdividindo
em muitos paralelepípedos pequenos
.
Pergunta implícita: como passar dessa soma aproximada para uma fórmula exata para o volume?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
Existe uma subdivisão de
em
paralelepípedos
.
O volume aproximado é
, onde
é o volume do
-ésimo paralelepípedo.
O volume exato é o limite dessa soma quando
e a maior aresta dos paralelepípedos tende a zero, ou seja,
.
Nada mais foi pedido explicitamente; a meta é entender e saber usar a passagem para a integral tripla .
Pergunta implícita: como passar dessa soma aproximada para uma fórmula exata para o volume?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
Nada mais foi pedido explicitamente; a meta é entender e saber usar a passagem para a integral tripla
Passo 2
Entendendo o paralelepípedo genérico e
.
Imagine dividir o intervalo de em pedaços de comprimentos
, o de
em
e o de
em
. Cada pequeno bloco (paralelepípedo) tem volume aproximado dado pelo produto das arestas:
Imagine dividir o intervalo de
Aqui cada símbolo significa:
é o comprimento do bloco na direção
,
na direção
,
na direção
. Esse é um passo intuitivo: o volume de um paralelepípedo retangular é base × altura × profundidade. Quando os paralelepípedos são muito pequenos, a aproximação fica exata no limite.
Passo 3
Passagem do somatório para a integral tripla (ideia de Riemann).
Formamos a soma de todos os pequenos volumes:
Formamos a soma de todos os pequenos volumes:
Se refinarmos a malha (ou seja, tornarmos as arestas cada vez menores) e o número de blocos
cresce, essa soma se aproxima de um limite. Esse limite, quando existir, é precisamente a integral tripla do corpo
:
Explicando
: é a notação que representa o volume infinitesimal. Em coordenadas cartesianas isso equivale a
. Então, de modo operacional, calcular
significa avaliar uma integral iterada de
sobre a região
.
Passo 4
Como transformar
em uma integral iterada prática (escolha de ordem e limites).
Para computarmos na prática usamos integrais iteradas. Uma forma comum de escrever é
Para computarmos na prática usamos integrais iteradas. Uma forma comum de escrever é
onde:
-
e são os limites para (projeção do sólido sobre o eixo ); - para cada
, varia entre e (projeção sobre a reta vertical em cada ); - para cada
, varia entre as superfícies e .
Em palavras: projetamos o sólido numa das coordenadas (por exemplo, no plano) e descrevemos as alturas (superior e inferior) em função de . Essa é a forma mais direta quando o sólido é “verticalmente simples” (isto é, para cada do domínio projetado existe um intervalo em ).
Passo 5
Fórmula prática quando o sólido é limitado por duas superfícies em
(caso vertical simples).
Se é o conjunto de pontos
tal que
está em um domínio
do plano
e
está entre
e
, então
Se
onde
é o elemento de área no plano
(em coordenadas cartesianas
). Essa fórmula é muito útil porque reduz o problema a uma integral dupla sobre
.
Passo 6
Exemplo 1 (caixote retangular simples) — só para fixar a ideia. Calcular o volume do paralelepípedo com
,
,
.
Montamos a integral tripla:
Montamos a integral tripla:
Integramos passo a passo:
Logo
E por fim
O volume é
. Aqui mostramos que a integral tripla recupera o produto das arestas para um bloco retangular.
Passo 7
Exemplo 2 (sólido limitado pelas faces coordenadas e pela reta
) — caso clássico de “pirâmide” triangular.
Definição do sólido : pontos com
,
,
e abaixo da superfície
. Para
precisamos de
, ou seja
. A projeção
no plano
é o triângulo com vértices
,
,
. Usamos a fórmula do Passo 5:
Definição do sólido
Escolhemos integrar em ordem
com
e
:
Primeira integral (em
):
Agora integramos em
:
Faça a substituição
(ou calcule o polinômio): quando
,
; quando
,
;
. Então
Portanto
O volume do sólido é
.
Passo 8
Curva de aprendizagem prática — escolha da ordem e coordenadas alternativas.
- Se o sólido é mais fácil visto como variação em
sobre um domínio no plano , use a fórmula do Passo 5. - Se a projeção sobre
é complicada, experimente projetar sobre ou e integrar em outra ordem. Às vezes dividir em duas (ou mais) partes simples é a melhor estratégia. - Quando o sólido tem simetria circular (cilindro, cone, esfera, etc.), use coordenadas cilíndricas:
. Em coordenadas esféricas . Essas mudanças simplificam limites e cálculos em muitos problemas.
Passo 9
Exemplo 3 (cilindro) — uso de coordenadas cilíndricas para fixar a ideia. Volume de um cilindro de raio
e altura
. Em cilíndricas:
Os limites:
,
,
. Então
Integre em
:
Em
:
Em
:
Recuperamos a conhecida fórmula do volume do cilindro:
.
Resposta
Exemplo 1 (caixote):
Exemplo 2 (sólido sob
Exemplo 3 (cilindro):