[Aplicações Geométricas]
Encontre a curva em que passa por tem, em cada ponto , a inclinação .
Passo 1
O enunciado pede uma curva em que passa por e cuja inclinação em cada ponto é dada por
Este é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo separável. Vamos resolver separando variáveis, integrando, aplicar a condição inicial e obter a expressão da curva.
Passo 2
Partimos de
Para separar variáveis, escrevemos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
que resulta em
onde é a constante de integração.
Passo 4
Podemos reescrever , ou seja
Exponenciando, obtemos
|x y| = e^C,
e definindo k = e^C, ficamos com
x y = k
Passo 5
Para determinar k, usamos a condição inicial (x,y)=(1,1):
1 cdot 1 = k Longrightarrow k = 1
Logo a curva é dada implicitamente por
x y = 1,
que equivale a
y = 1x
Resposta
A curva é y = dfrac1x, ou, de forma implícita, x y = 1.