[Aplicações Geométricas]
Encontre a curva em R^2 que passa por (1,1) e tem, em cada ponto (x, y), a inclinação -y / x.

Passo 1

O enunciado pede uma curva em R^2 que passa por (1,1) e cuja inclinação em cada ponto (x,y) é dada por
dydx = -yx
Este é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo separável. Vamos resolver separando variáveis, integrando, aplicar a condição inicial e obter a expressão da curva.

Passo 2

Partimos de
dydx = -yx
Para separar variáveis, escrevemos
dyy = -dxx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dyy = integral -dxx
que resulta em
ln|y| = -ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Podemos reescrever ln|y| + ln|x| = C, ou seja
lnl|x yr| = C
Exponenciando, obtemos
|x y| = e^C,
e definindo k = e^C, ficamos com
x y = k

Passo 5

Para determinar k, usamos a condição inicial (x,y)=(1,1):
1 cdot 1 = k Longrightarrow k = 1
Logo a curva é dada implicitamente por
x y = 1,
que equivale a
y = 1x

Resposta

A curva é y = dfrac1x, ou, de forma implícita, x y = 1.

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