[Aplicações Geométricas]
Encontre todas as curvas tais que a tangente em cada ponto (x, y) intercepta o eixo- x em (x-1,0).

Passo 1

O enunciado quer curvas y=y(x) tais que, em cada ponto (x,y), a reta tangente intercepta o eixo x no ponto (x-1,0). Vamos usar cálculo de derivada para achar a equação da tangente, obter sua interseção com o eixo x e impor que essa interseção seja x-1, o que vai gerar uma equação diferencial para y.

Passo 2

A reta tangente a y=y(x) em (x,y) tem equação
yreta - y = y',(X - x)
Para encontrar o intercepto com o eixo x, fazemos yreta=0. Assim
0 - y = y',(Xint - x) Longrightarrow Xint = x - yy'

Passo 3

Impondo que esse ponto de interseção seja (x-1,0), temos
Xint = x-1 Longrightarrow x - yy' = x-1 Longrightarrow yy' = 1 Longrightarrow dydx = y
Obtivemos a equação diferencial dydx=y.

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis:
integral 1y,dy = integral 1,dx Longrightarrow ln|y| = x + C Longrightarrow y = A,e^x,
onde A = e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Não há outra solução contínua que satisfaça a condição geométrica (a reta tangente de yequiv0 não define intercepto finito). Portanto, todas as curvas procuradas são da forma y=Ae^x, com Aneq0.

Resposta

y = A e^x, onde A é constante real não nula.

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