[Aplicações Geométricas]
Encontre todas as curvas tais que a tangente em cada ponto
intercepta o eixo-
em
.
Encontre todas as curvas tais que a tangente em cada ponto
Passo 1
O enunciado quer curvas
tais que, em cada ponto
, a reta tangente intercepta o eixo
no ponto
. Vamos usar cálculo de derivada para achar a equação da tangente, obter sua interseção com o eixo
e impor que essa interseção seja
, o que vai gerar uma equação diferencial para
.
Passo 2
A reta tangente a
em
tem equação
Para encontrar o intercepto com o eixo
, fazemos
. Assim
Passo 3
Impondo que esse ponto de interseção seja
, temos
Obtivemos a equação diferencial
.
Passo 4
Resolvendo por separação de variáveis:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Não há outra solução contínua que satisfaça a condição geométrica (a reta tangente de
não define intercepto finito). Portanto, todas as curvas procuradas são da forma
, com
.