[Reduzindo a Variáveis Separáveis] Considere uma equação diferencial ordinária da forma
y^prime=g(y / x)onde g é uma função real diferenciável. Ponha u=y / x e transforme-a em u+x u^prime=g(u), a qual, separando as variáveis, fica
d ug(u)-u=d xx
Usando esta técnica, encontre a solução geral das equações abaixo:
x y^prime=(1+x) y.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x,y'=(1+x),y
usando a técnica de variáveis separáveis via a substituição
u=yx
O conteúdo aqui é o tratamento de equações homogêneas de grau zero em y e x, transformando-as numa equação de variáveis separáveis para u(x).

Passo 2

Fazendo y = x,u, calculamos a derivada usando regra do produto:
y' = ddx(x,u) = u + x,u'

Passo 3

Substituímos y e y' na equação original:
x,(u + x,u') = (1+x),(x,u)
Expandindo,
x,u + x^2,u' = x,u + x^2,u
Cancelando x,u dos dois lados obtém-se
x^2,u' = x^2,u Longrightarrow u' = u

Passo 4

Agora é uma equação de variáveis separáveis:
duu = dx
Integrando ambos os lados,
integral duu = integral dx Longrightarrow lnl|ur| = x + C1 Longrightarrow u = C,e^x,
onde C = e^C1 é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando que y = x,u, temos
y = x,(C,e^x) = C,x,e^x,
que é a solução geral.

Resposta

y = C,x,e^x,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados