[Reduzindo a Variáveis Separáveis] Considere uma equação diferencial ordinária da forma
onde
é uma função real diferenciável. Ponha
e transforme-a em
, a qual, separando as variáveis, fica
Usando esta técnica, encontre a solução geral das equações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
usando a técnica de variáveis separáveis via a substituição
O conteúdo aqui é o tratamento de equações homogêneas de grau zero em
e
, transformando-as numa equação de variáveis separáveis para
.
Passo 2
Fazendo
, calculamos a derivada usando regra do produto:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Expandindo,
Cancelando
dos dois lados obtém-se
Passo 4
Agora é uma equação de variáveis separáveis:
Integrando ambos os lados,
onde
C = e^C1 é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando à variável
y , lembrando que
y = x,u , temos
que é a solução geral.
Resposta
com
C constante arbitrária.