Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min para completar uma volta na pista. Supondo que eles partem do mesmo local e no mesmo instante, após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local de largada. Neste momento, quantas voltas estará completando o atleta mais veloz?

Passo 1

O problema traz três atletas que completam a volta em uma pista circular em tempos distintos: 2,4 min, 2,0 min e 1,6 min. Queremos descobrir em que instante, pela primeira vez, todos estarão novamente juntos no ponto de largada (isto é, o menor tempo comum em que cada um tenha feito um número inteiro de voltas) e quantas voltas o atleta mais rápido terá dado. O conteúdo aqui é o cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC) de tempos e, depois, a divisão desse tempo pelo período do atleta mais veloz para obter o número de voltas.

Passo 2

Primeiro, convertemos os tempos dados em frações para facilitar o cálculo do MMC. Em minutos, temos:
2,4 = 125, 2,0 = 2 = 105, 1,6 = 85

Passo 3

Para obter o MMC de números racionais da forma ai/bi, usamos a fórmula
MMCl(a1b1,a2b2,dotsr)=MMC(a1,a2,dots)MDC(b1,b2,dots)

Passo 4

Aqui os numeradores são 12, 10 e 8. Fatorando:
12 = 2^2cdot3, 10 = 2cdot5, 8 = 2^3

Passo 5

O MMC dos numeradores é
MMC(12,10,8) = 2^3 cdot 3 cdot 5 = 120

Passo 6

Os denominadores (todos iguais a 5) têm MDC igual a 5. Logo,
MMCl(tfrac125,tfrac105,tfrac85r)=1205=24 minutos

Passo 7

Agora, para saber quantas voltas o atleta mais veloz (período de 1,6 min) deu nesse tempo, dividimos:
241,6 = 24tfrac85 = 24times58 = 15

Resposta

O atleta mais veloz terá completado 15 voltas.

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