Uma partícula de massa se encontra em um poço quadrado infinito simétrico cuja energia potencial é dada por
\left\{\begin{array}{lrl} U & =\infty & x<-\frac{L}{2} \\\ U & =0 & -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2} \\\ U & =\infty & x>L / 2 \end{array}\right.
A) Mostre que as soluções correspondentes da Equação de Schrödinger independente do tempo podem ser escritas na forma
\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \quad n=1,3,5,7, \cdots
e
\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \quad n=2,4,6,8, \cdots
B) Mostre que as energias permitidas são dadas pela relação E_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}}.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m\) em um poço de potencial infinito simétrico de largura \(L\), com \[U(x)= \begin{cases} \infty, & x<-\tfrac{L}{2},\\\\ 0, & -\tfrac{L}{2}<x<\tfrac{L}{2},\\\ \infty, & x>\tfrac{L}{2}. \end{cases}
Queremos achar as soluções estacionárias \psi(x)\] da Equação de Schrödinger independente do tempo e os níveis de energia permitidos. A teoria que vamos usar é: dentro da região \(U=0 a equação reduce-se a
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}=E\,\psi
com as condições de contorno \psi(\pm L/2)=0.

Passo 2

Na região -\tfrac{L}{2}<x<\tfrac{L}{2}, escrevemos a equação como
\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2} + k^2\,\psi = 0, \quad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}.
A solução geral é
\psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
As condições de contorno \psi\bigl(\pm \tfrac{L}{2}\bigr)=0 vão determinar k e a relação entre A e B.

Passo 3

Aplicando \psi\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)=0 e \psi\bigl(-\tfrac{L}{2}\bigr)=0:
  • Para a parte ímpar A=0, \psi(x)=B\sin(kx). Então
\sin\!\bigl(k\,\tfrac{L}{2}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\,\tfrac{L}{2}=n\pi,\;n=1,2,3,\dots
  • Para a parte par B=0, \psi(x)=A\cos(kx). Então
\cos\!\bigl(k\,\tfrac{L}{2}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\,\tfrac{L}{2}=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\pi,\;n=0,1,2,\dots
Reescrevendo ambos num único índice inteiro positivo n, vemos que
  • k = \tfrac{n\pi}{L} com n par gera solução ímpar \sin.
  • k = \tfrac{n\pi}{L} com n ímpar gera solução par \cos.

Passo 4

Impondo a normalização
\int_{-L/2}^{L/2}|\psi(x)|^2\,\mathrm{d}x = 1
chegamos a
\psi_n(x)= \begin{cases} \sqrt{\tfrac{2}{L}}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),& n=1,3,5,\dots,\\[6pt] \sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),& n=2,4,6,\dots. \end{cases}
Isso mostra a forma pedida no item A.]

Passo 5

A energia associada a cada modo é
E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\,\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2 = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m\,L^2}.
Isso responde o item B.

Resposta

As autofunções são
\psi_n(x)= \begin{cases} \sqrt{\tfrac{2}{L}}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),& n=1,3,5,\dots,\\[4pt] \sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),& n=2,4,6,\dots, \end{cases}
e os níveis de energia
E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m\,L^2}.]

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