Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
\log _{\sqrt{8}} 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{\sqrt{8}}4. Vamos usar a definição de logaritmo, que diz que, se
\log_{a}b = x,
então
a^{x} = b,
e também as propriedades de potências para reescrever bases numa forma comum.

Passo 2

Reescrevemos as quantidades com base 2:
\sqrt{8} = 8^{1/2} = (2^{3})^{1/2} = 2^{3/2},
4 = 2^{2}.

Passo 3

Seja x = \log_{\sqrt{8}}4. Pela definição,
(\sqrt{8})^{x} = 4.
Substituindo as expressões em base 2,
\bigl(2^{3/2}\bigr)^{x} = 2^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2^{\tfrac{3x}{2}} = 2^{2}.
Igualando expoentes,
\frac{3x}{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{3}.

Resposta

\log_{\sqrt{8}}4 = \frac{4}{3}.

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