Aplicando a definição de derivada, ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=1x^2

Passo 1

Temos a função f(x)=1x^2 e queremos achar f'(x) usando a definição de derivada. O conteúdo que vamos aplicar é o limite do quociente incremental:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Substituindo f(x)=1/x^2 na definição:
f'(x)=limhto01(x+h)^2-1x^2h

Passo 3

Precisamos simplificar a diferença no numerador. Fazendo o denominador comum:
1(x+h)^2-1x^2 =x^2-(x+h)^2x^2(x+h)^2 =-2xh - h^2x^2(x+h)^2
Assim o quociente incremental é
-2xh - h^2h,x^2(x+h)^2

Passo 4

Fatoramos h no numerador e cancelamos com o h do denominador:
-h(2x+h)h,x^2(x+h)^2 =-(2x+h)x^2(x+h)^2
Agora basta tomar o limite hto0:
limhto0-(2x+h)x^2(x+h)^2 =-2xx^2cdot x^2 =-2x^3

Resposta

f'(x)=-2x^3

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