Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
usando a definição
e também o raio de convergência dessa série. Vamos precisar calcular as derivadas de
em
e depois aplicar o teste da razão para encontrar o raio.
Passo 2
Calcular as primeiras derivadas de
e avaliá-las em
.
Em
temos
Passo 3
Identificar o padrão: para
ímpar
, e para
par
. Logo, na soma de Maclaurin sobram apenas os termos de ordem par.
Passo 4
Escrever a série usando o padrão encontrado:
Passo 5
Determinar o raio de convergência
pelo teste da razão. Seja
Então
para todo
x . Logo
R=infty .
Resposta
A série de Maclaurin de
cosh x é
e o raio de convergência é
R=infty .