Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=cosh x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=cosh x usando a definição
cosh x = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
e também o raio de convergência dessa série. Vamos precisar calcular as derivadas de cosh x em 0 e depois aplicar o teste da razão para encontrar o raio.

Passo 2

Calcular as primeiras derivadas de f(x)=cosh x e avaliá-las em x=0.
f(x)=cosh x, f'(x)=sinh x, f''(x)=cosh x, f^(3)(x)=sinh x,;dots
Em x=0 temos
f(0)=cosh(0)=1, f'(0)=sinh(0)=0, f''(0)=cosh(0)=1, f^(3)(0)=0,;dots

Passo 3

Identificar o padrão: para n ímpar f^(n)(0)=0, e para n=2k par f^(2k)(0)=1. Logo, na soma de Maclaurin sobram apenas os termos de ordem par.

Passo 4

Escrever a série usando o padrão encontrado:
cosh x = sumk=0^infty f^(2k)(0)(2k)!,x^2k = sumk=0^infty x^2k(2k)!

Passo 5

Determinar o raio de convergência R pelo teste da razão. Seja
ak = x^2k(2k)!
Então
limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty|x|^2(k+1)/(2k+2)!|x|^2k/(2k)! = limktoinftyx^2(2k+2)(2k+1)=0<1
para todo x. Logo R=infty.

Resposta

A série de Maclaurin de cosh x é
cosh x = sumk=0^infty x^2k(2k)!,
e o raio de convergência é R=infty.

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