Verifique quais das funções abaixo são periódicas e nos casos em que forem periódicas encontrar o seu periodo fundamental:
c) f(x)=[x], para x in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x) = lfloor xrfloor
é periódica em R e, caso positivo, determinar seu período fundamental. O conteúdo envolve a definição de função periódica e propriedades da função parte inteira.

Passo 2

Uma função f é periódica se existe T>0 tal que
f(x+T) = f(x)
para todo xinR. Esse T chama-se período, e o menor T>0 com essa propriedade é o período fundamental.

Passo 3

Vamos testar T=1. Para qualquer x temos
f(x+1) = lfloor x+1rfloor = lfloor xrfloor + 1
Como lfloor xrfloor+1 neq lfloor xrfloor em geral, T=1 não funciona.

Passo 4

Suponha agora que exista Tin(0,1) tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Escolha, por exemplo,
x0 = 1 - T2
Então
f(x0) = llfloor 1 - tfracT2rrfloor = 0,
mas
x0 + T = 1 + T2 > 1 Longrightarrow f(x0+T) = llfloor 1 + tfracT2rrfloor = 1
Logo f(x0+T)neq f(x0), contradizendo a periodicidade.

Resposta

A função f(x)=lfloor xrfloor não é periódica, portanto não há período fundamental.

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