Aplicando a definição de derivada, ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=e^x+a^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^x+a^x
usando a definição de derivada por limite. Vamos precisar da propriedade de soma de derivadas e dos limites fundamentais
limhto0tfrace^h-1h=1 e
limhto0tfraca^h-1h=ln(a).

Passo 2

Pela definição,
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0e^x+h+a^x+h-l(e^x+a^xr)h
e por linearidade do limite isso se separa em dois termos.

Passo 3

Calculemos o primeiro termo:
limhto0e^x+h-e^xh =limhto0e^xl(e^h-1r)h =e^x,limhto0e^h-1h =e^x

Passo 4

Agora o segundo termo:
limhto0a^x+h-a^xh =limhto0a^xl(a^h-1r)h =a^x,limhto0a^h-1h
Usando a^h=e^hln(a) segue
limhto0a^h-1h =limhto0e^hln(a)-1hln(a);ln(a) =1cdotln(a) =ln(a),
logo esse termo vale a^xln(a).

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
f'(x)=e^x+a^xln(a)

Resposta

f'(x)=e^x+a^xln(a)

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