Aplicando a definição de derivada, ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=log 2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de f(x)=log2x usando a definição de derivada. Vamos precisar da definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
das propriedades de logaritmo (diferença vira quociente) e da conversão log2u=dfracln uln2, além do fato de que dfracddxln x=tfrac1x.

Passo 2

Usando a definição de derivada, escrevemos
f'(x)=limhto0log2(x+h)-log2xh

Passo 3

Pela propriedade de logaritmos, a diferença de duas bases iguais é o logaritmo do quociente, então
log2(x+h)-log2xh =log2!l(tfracx+hxr)h

Passo 4

Convertendo para logaritmo natural, cai um fator 1/ln2:
log2l(tfracx+hxr)h =1ln2,ln!l(tfracx+hxr)h

Passo 5

Reescrevendo lnl(tfracx+hxr)=ln(x+h)-ln x, temos
ln(x+h)-ln xh
E sabemos que
limhto0ln(x+h)-ln xh=ddxln x=1x

Passo 6

Portanto
f'(x) =1ln2cdot1x =1x,ln2

Resposta

f'(x)=1x,ln2

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