Aplicando a definição de derivada, ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=x^2-2 x+10

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=x^2-2x+10 e queremos encontrar sua derivada f'(x) usando a definição de derivada
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Para isso, vamos expandir f(x+h), subtrair f(x), dividir por h e, por fim, calcular o limite conforme hto0.

Passo 2

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h na definição de f. Temos
f(x+h) = (x+h)^2 - 2(x+h) + 10 = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 10
e portanto
f(x+h)-f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 10) - (x^2 - 2x + 10) = 2xh + h^2 - 2h

Passo 3

Formar o quociente de diferença e simplificá-lo:
f(x+h)-f(x)h = 2xh + h^2 - 2hh
Fatorando h no numerador, obtemos
2xh + h^2 - 2hh = h,(2x + h - 2)h = 2x + h - 2

Passo 4

Aplicar o limite quando hto0. Como 2x + h - 2 é contínua em h, basta substituir h=0:
f'(x) = limhto0(2x + h - 2) = 2x - 2

Resposta

A derivada é f'(x) = 2x - 2.

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