Aplicando a eliminação Gaussiana, resolver e classificar o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 2 x-y-4 z-w=7 \\ x+3 y-2 z+2 w=4 \\ -3 x+2 y+6 z+3 w=0 \\ 4 x+15 y-8 z+9 w=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema
\begin{cases} 2x - y - 4z - w = 7,\\\ x + 3y - 2z + 2w = 4,\\\\ -3x + 2y + 6z + 3w = 0,\\\\ 4x + 15y - 8z + 9w = 6, \end{cases}
ou seja, usar operações elementares de linha para chegar a uma forma escalonada, depois fazer substituição regressiva e classificar (única solução, infinidade ou sem solução).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & -4 & -1 & 7\\\\ 1 & 3 & -2 & 2 & 4\\\\ -3 & 2 & 6 & 3 & 0\\\\ 4 & 15 & -8 & 9 & 6 \end{array}\right].

Passo 3

Para evitar frações, primeiro trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivot fica 1):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -2 & 2 & 4\\\\ 2 & -1 & -4 & -1 & 7\\\\ -3 & 2 & 6 & 3 & 0\\\\ 4 & 15 & -8 & 9 & 6 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos x de baixo da primeira coluna:
L_2 \leftarrow L_2 - 2 \cdot L_1,
L_3 \leftarrow L_3 + 3 \cdot L_1,
L_4 \leftarrow L_4 - 4 \cdot L_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -2 & 2 & 4\\\\ 0 & -7 & 0 & -5 & -1\\\\ 0 & 11 & 0 & 9 & 12\\\\ 0 & 3 & 0 & 1 & -10 \end{array}\right].

Passo 5

Agora eliminamos y nas linhas 3 e 4 usando combinações que mantenham coeficientes inteiros:
Fazemos 7\cdotL 3+11\cdotL 2 e 7\cdotL 4+3\cdotL 2, obtendo
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -2 & 2 & 4\\\\ 0 & -7 & 0 & -5 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 73\\\\ 0 & 0 & 0 & -8 & -73 \end{array}\right].
As duas últimas linhas agora mostram a mesma equação (sem contradição):
8w = 73.

Passo 6

Da linha 3 temos
w = \frac{73}{8}.
Substituindo em L 2 ( -7y -5w = -1) obtemos
-7y = -1 +5\cdot\frac{73}{8} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1 - 5\cdot\tfrac{73}{8}}{7} = -\frac{51}{8}.

Passo 7

Na linha 1 temos x +3y -2z +2w = 4. Como z não aparece em pivô, é variável livre, digamos z = t. Então
x = 4 - 3y +2z -2w =4 -3\Bigl(-\tfrac{51}{8}\Bigr)+2t -2\Bigl(\tfrac{73}{8}\Bigr) = \frac{39}{8} +2t.

Passo 8

Concluímos que há infinitas soluções, com parâmetro t\in\mathbb{R}:
\begin{cases} x = \dfrac{39}{8} +2t,\\\ y = -\dfrac{51}{8},\\\ z = t,\\\ w = \dfrac{73}{8}. \end{cases}

Resposta

O sistema é indeterminado (infinitas soluções), com a família
(x,y,z,w) = \Bigl(\tfrac{39}{8}+2t,\,-\tfrac{51}{8},\,t,\,\tfrac{73}{8}\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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