Determinar a equação da circunfundia tangente ao eixo das abscissas, sabendo que mesma passa pelo ponto
e cujo centro está sobre a reta
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma circunferência que (i) é tangente ao eixo
, (ii) passa por
e (iii) tem o centro sobre a reta
. O conteúdo é geometria analítica de círculos, e vamos precisar usar:
- A forma geral de uma circunferência com centro
e raio é
- Se a circunferência é tangente ao eixo
, a distância do centro ao eixo é exatamente .
Passo 2
Seja o centro
. Como o centro está sobre
, temos
E, por tangência ao eixo das abscissas, a distância vertical do centro ao eixo
vale o raio, ou seja
supondo
para que a circunferência fique acima do eixo
.
Passo 3
Como a circunferência passa por
, a distância de
ao centro vale o raio:
Elevando ao quadrado,
Passo 4
Substituímos
na equação acima:
Isso dá
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara:
Então os dois centros são
Em cada caso o raio é
.
Passo 6
Agora escrevemos as duas equações de circunferência:
Para :
Para
e para
:
Resposta
As circunferências procuradas são
e