Determinar a equação da circunfundia tangente ao eixo das abscissas, sabendo que mesma passa pelo ponto P(2,1) e cujo centro está sobre a reta y=x+1.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência que (i) é tangente ao eixo x, (ii) passa por P(2,1) e (iii) tem o centro sobre a reta y=x+1. O conteúdo é geometria analítica de círculos, e vamos precisar usar:
  1. A forma geral de uma circunferência com centro (h,k) e raio r é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.
  1. Se a circunferência é tangente ao eixo x, a distância do centro ao eixo x é exatamente r.

Passo 2

Seja o centro (h,k). Como o centro está sobre y=x+1, temos
k = h + 1.
E, por tangência ao eixo das abscissas, a distância vertical do centro ao eixo x vale o raio, ou seja
r = |k| = k,
supondo k>0 para que a circunferência fique acima do eixo x.

Passo 3

Como a circunferência passa por P(2,1), a distância de P ao centro vale o raio:
\sqrt{(2-h)^{2} + (1-k)^{2}} \;=\; r = k.
Elevando ao quadrado,
(2-h)^{2} + (1-k)^{2} = k^{2}.

Passo 4

Substituímos k = h + 1 na equação acima:
(2-h)^{2} + \bigl(1 - (h+1)\bigr)^{2} = (h+1)^{2}.
Isso dá
(2-h)^{2} + (-h)^{2} = (h+1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad (h-2)^{2} + h^{2} = h^{2} + 2h + 1.
Simplificando:
h^{2} - 4h + 4 + h^{2} = h^{2} + 2h + 1 \quad\Longrightarrow\quad h^{2} -6h +3 = 0.

Passo 5

Resolvendo h^{2} -6h +3 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
h = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}.
Então os dois centros são
h_{1} = 3 + \sqrt{6},\quad k_{1} = h_{1} + 1 = 4 + \sqrt{6},
h_{2} = 3 - \sqrt{6},\quad k_{2} = h_{2} + 1 = 4 - \sqrt{6}.
Em cada caso o raio é r_i = k_i.

Passo 6

Agora escrevemos as duas equações de circunferência:
Para \displaystyle(h_{1},k_{1}):
(x - (3 + \sqrt{6}))^{2} + (y - (4 + \sqrt{6}))^{2} = (4 + \sqrt{6})^{2},
e para \displaystyle(h_{2},k_{2}):
(x - (3 - \sqrt{6}))^{2} + (y - (4 - \sqrt{6}))^{2} = (4 - \sqrt{6})^{2}.

Resposta

As circunferências procuradas são
(x - (3 + \sqrt{6}))^{2} + (y - (4 + \sqrt{6}))^{2} = (4 + \sqrt{6})^{2}
e
(x - (3 - \sqrt{6}))^{2} + (y - (4 - \sqrt{6}))^{2} = (4 - \sqrt{6})^{2}.

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