O centro de uma circunferência é o ponto de interseção das retas r: y-1=-3 x-6 e s: y= 5 x+11. Determine a equação geral desta circunferência, sabendo que mesma passa pelo ponto P(-6,3).

Passo 1

O enunciado diz que o centro C da circunferência é o ponto de interseção das retas
r: y - 1 = -3x - 6
e
s: y = 5x + 11
e que a circunferência passa pelo ponto P(-6,3).
Conteúdo envolvido: interseção de duas retas para achar o centro, fórmula da distância no plano para obter o raio e montagem da equação geral de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a reta r em forma explícita. Da equação
y - 1 = -3x - 6
temos
y = -3x - 6 + 1
y = -3x - 5.
Agora igualamos com a reta s:
-3x - 5 = 5x + 11
-3x -5x = 11 + 5
-8x = 16
x = -2.
Substituindo em s,
y = 5(-2) + 11 = -10 + 11 = 1.
Logo, o centro é
C(-2,1).

Passo 3

Agora calculamos o raio r como a distância de C(-2,1) até P(-6,3). Pela fórmula
r = \sqrt{(x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2}
temos
r = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (3 - 1)^2}
r = \sqrt{(-4)^2 + 2^2}
r = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

A equação padrão da circunferência com centro em (x_C,y_C) e raio r é
(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2.
Substituindo x_C=-2, y_C=1 e r^2=20, obtemos
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 20.

Passo 5

Para chegar à forma geral, expandimos:
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 20
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 20
x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 = 20
x^2 + y^2 + 4x - 2y - 15 = 0.

Resposta

A equação geral da circunferência é
x^2 + y^2 + 4x - 2y - 15 = 0.

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