Considere os pontos A(4,-2,1), B(2,-5,-3) e C(-3,1,7). Determine:
a) o produto escalar dos vetores \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{C A}.

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar entre \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{CA}, dados os pontos A(4,-2,1), B(2,-5,-3) e C(-3,1,7). É conteúdo de geometria analítica no espaço, e vamos usar a definição de vetor a partir de dois pontos e a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, encontramos as coordenadas dos vetores:
\vec{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (\,2 - 4,\,-5 - (-2),\,-3 - 1\,) = (-2,\,-3,\,-4),
\vec{v} = \overrightarrow{CA} = A - C = (\,4 - (-3),\,-2 - 1,\,1 - 7\,) = (7,\,-3,\,-6).

Passo 3

O produto escalar de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Substituindo,
\vec{u}\cdot\vec{v} = (-2)\cdot 7 + (-3)\cdot(-3) + (-4)\cdot(-6) = -14 + 9 + 24 = 19.

Resposta

19

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