Aplicando a fórmula de Green, calcular a integral ointC-x^2 y d x+x y^2 d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=R^2, percorrida no sentido antihorário. (R: pi R^42 )

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointC -x^2 y , dx + x y^2 , dy usando a fórmula de Green. Esse problema está dentro da área de Cálculo Vetorial, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Green. Ela nos permite converter uma integral de contorno ao redor de uma curva fechada C em uma integral dupla sobre a região D que está dentro de C. A fórmula é dada por:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, P = -x^2 y e Q = x y^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
E a derivada de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (-x^2 y) = -x^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de Green, temos:
integral duplaD ( y^2 - (-x^2) ) , dA = integral duplaD (x^2 + y^2) , dA

Passo 5

Agora, observamos que a região D está limitada pela circunferência x^2 + y^2 = R^2. Essa é uma região circular de raio R. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dA é r , dr , dtheta.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^3 , dr , dtheta
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos cobrindo toda a circunferência, theta varia de 0 a 2pi e r varia de 0 a R.

Passo 7

Integrando primeiro em relação a r:
integral0^R r^3 , dr = [ r^44 ]0^R = R^44

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi R^44 , dtheta = R^44 cdot 2pi = pi R^42

Resposta

A integral ointC -x^2 y , dx + x y^2 , dy é igual a pi R^42.

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