Aplicando a fórmula de Green, calcular a integral
, onde
é a circunferência
, percorrida no sentido antihorário. (R:
)
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
usando a fórmula de Green. Esse problema está dentro da área de Cálculo Vetorial, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Green. Ela nos permite converter uma integral de contorno ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula de Green, temos:
Passo 5
Agora, observamos que a região
está limitada pela circunferência
. Essa é uma região circular de raio
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Em coordenadas polares,
e o elemento de área
é
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos cobrindo toda a circunferência,
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 7
Integrando primeiro em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral
é igual a
.