Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)=llx+9 & se x<-3 -2 x & se |x| <= 3 -6 & se x>3

Passo 1

O enunciado nos dá uma função por partes
f(x)= x+9, &se x<-3, -2x, &se |x|<=3, -6, &se x>3,
e pede (a) o domínio de f e (b) o esboço do gráfico. O conteúdo envolve funções definidas por trechos e como unir esses trechos num único gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver para quais valores de algum dos trechos está definido. Temos trechos cobrindo
que juntos dão todos os números reais. Logo

Passo 3

Analisando o ramo f(x)=x+9 para x<-3:
– É uma reta de coeficiente angular 1 e intercepto 9.
– Quando xto -infty, f(x)to -infty.
– Em x=-3 ela dá f(-3)=6, mas como o trecho é aberto em x=-3, fica um círculo aberto em (-3,6).

Passo 4

Analisando o ramo f(x)=-2x para |x|<=3 (isto é, -3<= x<=3):
– É uma reta de coeficiente angular -2.
– Em x=-3 f(-3)=-2(-3)=6, ponto fechado em (-3,6).
– Em x=3 f(3)=-2cdot3=-6, ponto fechado em (3,-6).
– Entre -3 e 3 a reta liga esses dois pontos.

Passo 5

Analisando o ramo f(x)=-6 para x>3:
– É a reta horizontal y=-6.
– Em x=3 teríamos (-) um círculo aberto em (3,-6), pois o trecho é aberto em 3.
– Para x>3 o gráfico segue horizontal em y=-6.

Passo 6

Unindo tudo no gráfico:
– Para x<-3: reta y=x+9 até o ponto aberto (-3,6).
– Para -3<= x<=3: reta y=-2x entre os pontos fechados (-3,6) e (3,-6).
– Para x>3: linha horizontal y=-6 a partir do ponto aberto (3,-6).

Resposta

Domínio: R.
Gráfico:
  1. Reta y=x+9 para x<-3, com círculo aberto em (-3,6).
  2. Reta y=-2x em -3<= x<=3, ligando pontos fechados (-3,6) e (3,-6).
  3. Reta horizontal y=-6 para x>3, com círculo aberto em (3,-6).

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