Aplicando a identidade
ao número
, prove as identidades abaixo:
(1)
(2)
(1)
(2)
Passo 1
O enunciado pede para usar a soma geométrica
com
.
Precisamos separar em parte real (para a soma dos cossenos) e parte imaginária (para a soma dos senos), e depois usar fórmulas produto-para-soma.
Precisamos separar em parte real (para a soma dos cossenos) e parte imaginária (para a soma dos senos), e depois usar fórmulas produto-para-soma.
Passo 2
Primeiro calculamos
e
Logo a soma geométrica é
Passo 3
Para a soma dos cossenos usamos a parte real:
Agora aplicamos a identidade
com
e
. Assim
Dividindo por
obtemos
Passo 4
Como
, concluímos
Passo 5
Para a soma dos senos usamos a parte imaginária:
Aplicamos agora
com
e
. Tem-se
Dividindo por
obtemos
Resposta
(
)
\n
( )
(