Aplicando a identidade
1+z+z^2+ldots+z^n=1-z^n+11-z
ao número z=cos theta+i sen theta in C, com theta neq 0, pm 2 pi, pm 4 pi, ldots, prove as identidades abaixo:
(1) 1+cos theta+cos 2 theta+ldots+cos n theta=12+sen(n+12) theta2 sen(theta2)
(2) sen theta+sen 2 theta+ldots+sen n theta=12 cotg(theta2)+cos (n+12) theta2 sen(theta2)

Passo 1

O enunciado pede para usar a soma geométrica
1+z+z^2+cdots+z^n=1-z^n+11-z
com z=costheta+isentheta=e^itheta.
Precisamos separar em parte real (para a soma dos cossenos) e parte imaginária (para a soma dos senos), e depois usar fórmulas produto-para-soma.

Passo 2

Primeiro calculamos
1-z^n+1=1-e^i(n+1)theta =e^i(n+1)theta2l(e^-i(n+1)theta2-e^i(n+1)theta2r) =-2i,e^i(n+1)theta2sin!l(tfrac(n+1)theta2r)
e
1-z=1-e^itheta =e^itheta2l(e^-itheta2-e^itheta2r) =-2i,e^itheta2sin!l(tfractheta2r)
Logo a soma geométrica é
sumk=0^nz^k =1-z^n+11-z =-2i,e^i(n+1)theta2sinl(tfrac(n+1)theta2r) -2i,e^itheta2sinl(tfractheta2r) =e^intheta2;sinl(tfrac(n+1)theta2r)% sinl(tfractheta2r)

Passo 3

Para a soma dos cossenos usamos a parte real:
sumk=0^ncos ktheta =Re!gl(e^intheta2;sinl(tfrac(n+1)theta2r)% sinl(tfractheta2r)gr) =sinl(tfrac(n+1)theta2r)% sinl(tfractheta2r)cos!l(tfracntheta2r)
Agora aplicamos a identidade
2sin Acos B=sin(A+B)+sin(A-B)
com A=tfrac(n+1)theta2 e B=tfracntheta2. Assim
2,sin!l(tfrac(n+1)theta2r)cos!l(tfracntheta2r) =sin!l((n+1)tfractheta2+ntfractheta2r) +sin!l((n+1)tfractheta2-ntfractheta2r) =sin!l((n+tfrac12)thetar)+sin!l(tfractheta2r)
Dividindo por 2sin(tfractheta2) obtemos
sumk=0^ncos ktheta =12+sin!l((n+tfrac12)thetar) 2,sin!l(tfractheta2r)

Passo 4

Como 1+costheta+cdots+cos ntheta=sumk=0^ncos ktheta, concluímos
1+costheta+cos2theta+cdots+cos ntheta =12+sen!l((n+tfrac12)thetar)% 2,sen!l(tfractheta2r)

Passo 5

Para a soma dos senos usamos a parte imaginária:
sumk=1^nsen ktheta =Im!gl(e^intheta2;sinl(tfrac(n+1)theta2r)% sinl(tfractheta2r)gr) =sinl(tfrac(n+1)theta2r)% sinl(tfractheta2r)sin!l(tfracntheta2r)
Aplicamos agora
2sin Asin B=cos(A-B)-cos(A+B)
com A=tfrac(n+1)theta2 e B=tfracntheta2. Tem-se
2,sin!l(tfrac(n+1)theta2r)sin!l(tfracntheta2r) =cos!l(tfrac(n+1)theta2-tfracntheta2r) -cos!l(tfrac(n+1)theta2+tfracntheta2r) =cos!l(tfractheta2r)-cos!l((n+tfrac12)thetar)
Dividindo por 2sin(tfractheta2) obtemos
sumk=1^nsen ktheta =cos!l(tfractheta2r)-cos!l((n+tfrac12)thetar)% 2,sin!l(tfractheta2r) =12cotg!l(tfractheta2r) -cos!l((n+tfrac12)thetar)2,sin!l(tfractheta2r)

Resposta

( 1) 1+costheta+cos2theta+cdots+cos ntheta =12+sinl((n+tfrac12)thetar)2,sinl(tfractheta2r)\n
( 2) sintheta+sin2theta+cdots+sin ntheta =12cot!l(tfractheta2r) -cosl((n+tfrac12)thetar)2,sinl(tfractheta2r)

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