Dados
, mostre que:
se e só se
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para
, que
se, e somente se,
O conteúdo envolve
- a forma trigonométrica dos complexos
,z=|z|e^iarg(z) - a desigualdade triangular
e|u+v|<=|u|+|v| - a condição de igualdade nessa desigualdade (colinearidade e mesmo sentido dos vetores em
).R^2
Passo 2
Suponha primeiro que
arg(z)-arg(w)=2kpi .
Então existemr=|z|>=0 e
s=|w|>=0 tais que
Então existem
Logo
e tomando módulo em ambos os lados vem
Passo 3
Agora suponha que
|z-w| = l||z| - |w|r| .
Sem perda de generalidade assuma|z|>=|w| (caso contrário troque
z e
w ). Então
Sem perda de generalidade assuma
e a hipótese vira
Considere a soma complexa
z = (z-w) + w . Pela desigualdade triangular,
Como chegamos a
|z|<=|z| , só pode haver igualdade na desigualdade triangular. Mas sabemos que na desigualdade triangular a igualdade
ocorre se, e somente se, os vetores
u e
v são colineares e têm o mesmo sentido em
R^2 . Aplicando isso a
u=z-w e
v=w , conclui-se que há
lambda>=0 tal que
Então
o que implica imediatamente
Esse
m corresponde ao
k do enunciado.
Resposta
O enunciado está provado: