Dados z, w in C, mostre que:
|z-w|=||z|-|w|| se e só se arg (z)-arg (w)=2 k pi para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para z,winC, que
|z-w| = l||z| - |w|r|
se, e somente se,
arg(z) - arg(w) = 2kpi para algum kinZ
O conteúdo envolve
  1. a forma trigonométrica dos complexos z=|z|e^iarg(z),
  2. a desigualdade triangular |u+v|<=|u|+|v| e
  3. a condição de igualdade nessa desigualdade (colinearidade e mesmo sentido dos vetores em R^2).

Passo 2

Suponha primeiro que
arg(z)-arg(w)=2kpi.
Então existem r=|z|>=0 e s=|w|>=0 tais que
z = r,e^itheta, w = s,e^itheta, theta=arg(w)
Logo
z-w = (r - s),e^itheta,
e tomando módulo em ambos os lados vem
|z-w| = |r - s| = l||z| - |w|r|

Passo 3

Agora suponha que
|z-w| = l||z| - |w|r|.
Sem perda de generalidade assuma |z|>=|w| (caso contrário troque z e w). Então
l||z| - |w|r| = |z| - |w|
e a hipótese vira
|z-w| = |z| - |w|
Considere a soma complexa z = (z-w) + w. Pela desigualdade triangular,
|z| = l|(z-w) + wr| <= |z-w| + |w| = l(|z| - |w|r) + |w| = |z|
Como chegamos a |z|<=|z|, só pode haver igualdade na desigualdade triangular. Mas sabemos que na desigualdade triangular a igualdade
|u+v| = |u| + |v|
ocorre se, e somente se, os vetores u e v são colineares e têm o mesmo sentido em R^2. Aplicando isso a u=z-w e v=w, conclui-se que há lambda>=0 tal que
z-w = lambda,w
Então
z = (1+lambda),w,
o que implica imediatamente
arg(z) = arg(w) + 2mpi para algum minZ
Esse m corresponde ao k do enunciado.

Resposta

O enunciado está provado:
|z-w| = l||z| - |w|r| Long<=ftrightarrow arg(z)-arg(w)=2kpi,;kinZ

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