Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xx^2 cdot(x^2-9)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral dxx^2,raizx^2-9
usando método de substituição trigonométrica. Vamos reconhecer que, para expressar raizx^2-9, uma boa escolha é
x = 3sectheta,
porque assim raizx^2-9 = 3tantheta.

Passo 2

Fazendo x = 3sectheta, temos
dx = 3secthetatantheta,dtheta, raizx^2-9 = 3tantheta, x^2 = 9sec^2theta
Substituindo em I:
I = integral 3secthetatantheta,dthetal(9sec^2thetar),l(3tanthetar) =integral 3secthetatantheta27sec^2thetatantheta,dtheta =integral 19,secthetatanthetasec^2thetatantheta,dtheta =19integral costheta,dtheta

Passo 3

Agora é imediato:
19integral costheta,dtheta =19sintheta + C

Passo 4

Volta à variável x. Da substituição x=3sectheta segue
sectheta = x3 Longrightarrow costheta = 3x,
e
sintheta = raiz1-cos^2theta =raiz1-9x^2 =raizx^2-9x
Portanto
I = 19,sintheta + C =19,raizx^2-9x + C

Resposta

boxedI = raizx^2-99,x + C

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