Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral indefinida . O tema aqui é integração de funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que a gente possa integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração, que é . Para fatorar um polinômio quadrático da forma , a gente procura dois números que multiplicados dão (no caso, ) e somados dão (que é -1).
Os números que atendem a essas condições são 1 e -2, porque e . Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, a gente pode expressar a fração original como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de [A) e , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Agrupando os termos com :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: (B = 3 - A]
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos os valores de A e B na expressão das frações parciais:
3x - 5x^2 - x - 2 = 83x + 1 + 13x - 2
Podemos reescrever isso como:
83(x + 1) + 13(x - 2)
Agora, vamos integrar termo por termo:
I = integral 83(x + 1) , dx + integral 13(x - 2) , dx
Lembrando que integral 1x dx = ln|x| + C , a gente tem: