Desenvolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração de funções racionais por frações parciais
I=integral 3 x-5x^2-x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral indefinida I = integral 3x - 5x^2 - x - 2 , dx . O tema aqui é integração de funções racionais usando frações parciais. Para resolver isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e depois decompor a fração em termos mais simples que a gente possa integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração, que é x^2 - x - 2 . Para fatorar um polinômio quadrático da forma ax^2 + bx + c , a gente procura dois números que multiplicados dão a cdot c (no caso, 1 cdot (-2) = -2 ) e somados dão b (que é -1).
Os números que atendem a essas condições são 1 e -2, porque 1 cdot (-2) = -2 e 1 + (-2) = -1 . Então, podemos escrever:
x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, a gente pode expressar a fração original como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
3x - 5(x + 1)(x - 2) = Ax + 1 + Bx - 2

Passo 4

Para encontrar os valores de [A) e , multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Agrupando os termos com :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: (B = 3 - A]
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos os valores de A e B na expressão das frações parciais:
3x - 5x^2 - x - 2 = 83x + 1 + 13x - 2
Podemos reescrever isso como:
83(x + 1) + 13(x - 2)
Agora, vamos integrar termo por termo:
I = integral 83(x + 1) , dx + integral 13(x - 2) , dx
Lembrando que integral 1x dx = ln|x| + C , a gente tem:
I = 83 ln|x + 1| + 13 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral definida é:
I = 83 ln|x + 1| + 13 ln|x - 2| + C

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