Aplicando a lei de Gauss e desprezando efeitos de borda, determine a expressão para a capacitância do capacitor plano em função de seu dimensionamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar a Lei de Gauss e ignorar os efeitos de borda para encontrar a expressão da capacitância de um capacitor plano em função de suas dimensões. Basicamente, vamos mexer com conceitos de eletrostática e entender como a capacitância depende do tamanho das placas do capacitor e da distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância C = QV mede a capacidade de um capacitor de armazenar carga elétrica. Ela está relacionada à carga e à diferença de potencial entre as placas pelo relacionamento:
Para encontrar , precisamos expressar e em termos das dimensões do capacitor.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 entre as placas do capacitor. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo sigma = QA :
No caso do capacitor plano, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de caixa que atravessa uma das placas. A carga está distribuída uniformemente em uma das placas, então a densidade superficial de carga é:
onde é a área da placa.

Passo 4

Considerando a simetria do problema, o campo elétrico PhiE = E cdot A entre as placas é uniforme e perpendicular às superfícies. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é então:
E cdot A = Qvarepsilon0
Aplicando a Lei de Gauss:
E = Qvarepsilon0 A
Daí, podemos isolar :

Passo 5

Agora, vamos relacionar o campo elétrico V = E cdot d com a diferença de potencial V = Qvarepsilon0 A cdot d . A diferença de potencial entre as placas é dada por:
onde é a distância entre as placas. Substituindo :

Passo 6

Finalmente, usamos a definição de capacitância C = QQvarepsilon0 A cdot d = varepsilon0 Ad e substituímos :

Resposta

A capacitância do capacitor plano é
C = varepsilon0 Ad
onde é a capacitância, é a permissividade do vácuo, é a área das placas e é a distância entre elas.

Exercícios relacionados