Aplicando a lei de Gauss e desprezando efeitos de borda, determine a expressão para a capacitância do capacitor plano em função de seu dimensionamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar a Lei de Gauss e ignorar os efeitos de borda para encontrar a expressão da capacitância de um capacitor plano em função de suas dimensões. Basicamente, vamos mexer com conceitos de eletrostática e entender como a capacitância depende do tamanho das placas do capacitor e da distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância
mede a capacidade de um capacitor de armazenar carga elétrica. Ela está relacionada à carga
e à diferença de potencial
entre as placas pelo relacionamento:
Para encontrar
, precisamos expressar
e
em termos das dimensões do capacitor.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
entre as placas do capacitor. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
No caso do capacitor plano, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de caixa que atravessa uma das placas. A carga
está distribuída uniformemente em uma das placas, então a densidade superficial de carga
é:
onde
é a área da placa.
Passo 4
Considerando a simetria do problema, o campo elétrico
entre as placas é uniforme e perpendicular às superfícies. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Daí, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos relacionar o campo elétrico
com a diferença de potencial
. A diferença de potencial entre as placas é dada por:
onde
é a distância entre as placas. Substituindo
:
Passo 6
Finalmente, usamos a definição de capacitância
e substituímos
:
Resposta
A capacitância do capacitor plano é
onde
é a capacitância,
é a permissividade do vácuo,
é a área das placas e
é a distância entre elas.