Suponha que uma pequena usina elétrica esteja gerando uma potência
, com uma tensão eficaz 127 V . Os fios da linha de transmissão tem um diâmetro de 15 mm feito de material condutor e a resistividade elétrica do material é
.m. Sabendo-se que a estação fica a 20 km de uma residência.
Qual é a potência elétrica que está sendo entregue à residência?
Qual é a potência elétrica que está sendo entregue à residência?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma usina que gera uma potência de $ P = 3.800 , W $ com uma tensão de $ V = 127 , V $. Os fios usados para transmitir essa energia têm um diâmetro de 15 mm e uma resistividade elétrica de $ \rho = 1,75 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $. A distância entre a estação e a residência é de 20 km. Queremos descobrir qual é a potência que chega na residência, ou seja, quanto de energia é entregue efetivamente após as perdas na transmissão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica dos fios e de perda de potência durante a transmissão. Vamos calcular a resistência total dos fios e depois a perda de potência devido a essa resistência. Por fim, subtrairemos essa perda da potência gerada para achar a potência que chega na residência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a resistência dos fios de transmissão. A resistência $ R $ de um fio é dada pela fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L $ é o comprimento do fio,
- $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como a estação está a 20 km da residência, mas temos ida e volta, o comprimento total do fio é $ L = 2 \times 20 , km = 40 , km = 40.000 , m $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal dos fios. Como o fio tem um diâmetro de 15 mm, o raio $ r $ é metade disso:
A área $ A $ de um círculo é:
Passo 4
Com a área e o comprimento, podemos calcular a resistência total dos fios:
Passo 5
Agora que temos a resistência, vamos calcular a corrente que está circulando no fio. A potência gerada $ P $ e a tensão $ V $ estão relacionadas pela fórmula:
Resolvendo para $ I $:
Passo 6
Com a corrente conhecida, podemos calcular a potência perdida nos fios devido à resistência. Essa perda é dada por:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a potência que chega na residência, subtraímos a perda da potência gerada:
Resposta
A potência elétrica entregue à residência é de aproximadamente $ 248 , W $.