Suponha que uma pequena usina elétrica esteja gerando uma potência P=3.800 W, com uma tensão eficaz 127 V . Os fios da linha de transmissão tem um diâmetro de 15 mm feito de material condutor e a resistividade elétrica do material é rho=1,75.10^-8 Omega.m. Sabendo-se que a estação fica a 20 km de uma residência.
Qual é a potência elétrica que está sendo entregue à residência?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma usina que gera uma potência de $ P = 3.800 , W $ com uma tensão de $ V = 127 , V $. Os fios usados para transmitir essa energia têm um diâmetro de 15 mm e uma resistividade elétrica de $ \rho = 1,75 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $. A distância entre a estação e a residência é de 20 km. Queremos descobrir qual é a potência que chega na residência, ou seja, quanto de energia é entregue efetivamente após as perdas na transmissão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica dos fios e de perda de potência durante a transmissão. Vamos calcular a resistência total dos fios e depois a perda de potência devido a essa resistência. Por fim, subtrairemos essa perda da potência gerada para achar a potência que chega na residência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência dos fios de transmissão. A resistência $ R $ de um fio é dada pela fórmula:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do fio,
  • $ A $ é a área da seção transversal do fio.
Como a estação está a 20 km da residência, mas temos ida e volta, o comprimento total do fio é $ L = 2 \times 20 , km = 40 , km = 40.000 , m $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal dos fios. Como o fio tem um diâmetro de 15 mm, o raio $ r $ é metade disso:
r
A área $ A $ de um círculo é:
r = 15 , mm2 = 7,5 , mm = 0,0075 , m

Passo 4

Com a área e o comprimento, podemos calcular a resistência total dos fios:
R = rho cdot LA = 1,75 times 10^-8 , Omega cdot m times 40.000 , m1,767 times 10^-4 , m^2 approx 3,96 , Omega

Passo 5

Agora que temos a resistência, vamos calcular a corrente que está circulando no fio. A potência gerada $ P $ e a tensão $ V $ estão relacionadas pela fórmula:
P
Resolvendo para $ I $:
V

Passo 6

Com a corrente conhecida, podemos calcular a potência perdida nos fios devido à resistência. Essa perda é dada por:
Pperda = I^2 cdot R = (29,92 , A)^2 times 3,96 , Omega approx 3.552 , W

Passo 7

Finalmente, para encontrar a potência que chega na residência, subtraímos a perda da potência gerada:
Pentregue = P - Pperda = 3.800 , W - 3.552 , W approx 248 , W

Resposta

A potência elétrica entregue à residência é de aproximadamente $ 248 , W $.

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