Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral s^2 sen(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral x^2,sen(x),dx
usando o método de integração por partes. Para isso vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2 e dv = sen(x),dx.
Então
du = 2x,dx, v = integral sen(x),dx = -cos(x)
Aplicando a fórmula de partes,
integral x^2sen(x),dx = x^2l(-cos(x)r) - integral l(-cos(x)r),2x,dx = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral xcos(x),dx
por partes de novo. Tomamos
u2=x e dv2=cos(x),dx.
Assim
du2=dx, v2=integral cos(x),dx = sen(x)
Logo,
integral xcos(x),dx = x,sen(x) - integral sen(x),dx = xsen(x) + cos(x)
Portanto
2integral xcos(x),dx = 2l(xsen(x) + cos(x)r) = 2xsen(x) + 2cos(x)

Passo 4

Substituindo esse resultado em
-x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx,
temos
integral x^2sen(x),dx = -x^2cos(x) + l(2xsen(x) + 2cos(x)r) + C

Resposta

boxed-,x^2cos(x) + 2xsen(x) + 2cos(x) + C

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