Aplicando o método da substituição, calcule:
integral(1+5 x^2)^-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral l(1+5x^2r)^-1,dx,
usando o método da substituição. Esse tipo de integral lembra a forma padrão
integral 11+u^2,du = arctan(u)+C
Para enquadrar nossa integral nesse padrão, precisamos introduzir uma nova variável que elimine o coeficiente 5 dentro do quadrado.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = raiz5,x
Dessa forma,
du = raiz5,dx Longrightarrow dx = duraiz5
Além disso,
1 + 5x^2 = 1 + (raiz5,x)^2 = 1 + u^2

Passo 3

Substituindo na integral,
integral 11+5x^2,dx = integral 11+u^2;duraiz5 = 1raiz5;integral 11+u^2,du
Agora reconhecemos a forma padrão e sabemos que
integral 11+u^2,du = arctan(u) + C

Passo 4

Voltando à variável original x (isto é, u = raiz5,x),
obtivemos a primitiva
1raiz5;arctanl(ur) + C = 1raiz5;arctanl(raiz5,xr) + C

Resposta

integral 11+5x^2,dx = 1raiz5;arctanl(raiz5,xr) + C

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