Obtenha uma equação cartesiana da curva paramétrica dada pelas equaçōes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar duas equações paramétricas dadas por
e
em uma equação cartesiana, ou seja, uma que relacione
e
sem o parâmetro
. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas paramétricas e como eliminamos o parâmetro para obter a relação direta entre as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação de
:
. Nosso objetivo aqui é isolar o
para poder substituí-lo na outra equação. Para isso, subtraímos 4 de ambos os lados:
Passo 3
Agora, para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é a função inversa da exponencial
, então temos:
Agora conseguimos expressar
em termos de
.
Passo 4
Vamos usar essa expressão de
na equação de
. A equação de
é
. Substituindo
por
, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
, então
pode ser reescrito como
. Isso porque a propriedade dos logaritmos
nos permite reescrever a expressão:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.