Obtenha uma equação cartesiana da curva paramétrica dada pelas equaçōes:
x=e^t+4, y=e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar duas equações paramétricas dadas por x = e^t + 4 e y = e^2t em uma equação cartesiana, ou seja, uma que relacione x e y sem o parâmetro t . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas paramétricas e como eliminamos o parâmetro para obter a relação direta entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação de x : x = e^t + 4 . Nosso objetivo aqui é isolar o t para poder substituí-lo na outra equação. Para isso, subtraímos 4 de ambos os lados:
x - 4 = e^t

Passo 3

Agora, para resolver para t , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é a função inversa da exponencial e^t , então temos:
ln(x - 4) = t
Agora conseguimos expressar t em termos de x .

Passo 4

Vamos usar essa expressão de t na equação de y . A equação de y é y = e^2t . Substituindo t por ln(x - 4) , ficamos com:
y = e^2 ln(x - 4)

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que e^ln(a) = a , então e^2 ln(x - 4) pode ser reescrito como (x - 4)^2 . Isso porque a propriedade dos logaritmos a ln(b) = ln(b^a) nos permite reescrever a expressão:
y = (x - 4)^2

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = (x - 4)^2 .

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