Aplicando o método da substituição, calcule:
integral 12+2 x+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 12 + 2x + x^2,dx
usando o método da substituição. Vamos precisar reconhecer uma forma padrão de integral que leva a arctan, ou seja, algo da forma integral 1u^2+1,du. Para isso, primeiro completamos o quadrado no denominador.

Passo 2

Completemos o quadrado em 2 + 2x + x^2. Escrevemos
2 + 2x + x^2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1

Passo 3

Agora fazemos a substituição
u = x + 1 Longrightarrow du = dx
Com isso, a integral fica
integral 1(x+1)^2 + 1,dx = integral 1u^2 + 1,du

Passo 4

A integral de 1u^2+1 em relação a u é a função arctan(u). Logo,
integral 1u^2 + 1,du = arctan(u) + C
Voltando à variável x, temos arctan(u)=arctan(x+1).

Resposta

integral 12 + 2x + x^2,dx = arctan(x+1) + C

Exercícios relacionados