Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral x^2(x+9)^-1 / 2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2(x+9)^-tfrac12,dx
usando o método de integração por partes.
Conteúdo: integração por partes e mudança de variável simples.

Passo 2

Escolhemos em integral u,dv = uv - integral v,du
u = x^2, dv = (x+9)^-tfrac12,dx
Logo
du = 2x,dx
e para encontrar v calculamos
v = integral (x+9)^-tfrac12,dx

Passo 3

Fazendo a primitiva
integral (x+9)^-tfrac12,dx = 2,(x+9)^tfrac12,
portanto v = 2raizx+9. Aplicando partes:
integral x^2(x+9)^-tfrac12,dx = x^2cdot 2raizx+9 - integral 2raizx+9cdot 2x,dx
Isto é
2x^2raizx+9 ;-;4integral xraizx+9,dx

Passo 4

Para resolver
integral xraizx+9,dx,
fazemos a mudança de variável
t = x+9 Longrightarrow x = t-9, dx = dt
Então
integral xraizx+9,dx = integral (t-9),t^tfrac12,dt = integral l(t^tfrac32 -9,t^tfrac12r),dt

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral t^tfrac32,dt = 25,t^tfrac52, integral t^tfrac12,dt = 23,t^tfrac32
Logo
integral (t^tfrac32 -9,t^tfrac12),dt = 25,t^tfrac52 -9cdot23,t^tfrac32 = 25t^tfrac52 -6,t^tfrac32
Voltando a x:
integral xraizx+9,dx = 25(x+9)^tfrac52 -6,(x+9)^tfrac32

Passo 6

Substituindo em
2x^2raizx+9 ;-;4integral xraizx+9,dx
temos
2x^2raizx+9 -4l[ 25(x+9)^tfrac52 -6,(x+9)^tfrac32 r] + C
Expandindo:
2x^2raizx+9 -85(x+9)^tfrac52 +24,(x+9)^tfrac32 + C

Resposta

boxed integral x^2(x+9)^-tfrac12,dx =2x^2raizx+9 -85(x+9)^tfrac52 +24,(x+9)^tfrac32 + C

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